對稱次模函數

給定一個有限集合V,對稱次模函數是定義在\(2^V\)的一個實函數\(f\),並且其滿足以下兩種性質。
次模性：若\(A \subseteq B,x\notin B\)，則有\(f(A+\{x\}) -f(A) \ge f(B+\{x\}) -f(B)\)
對稱性：\(f(A)=f(V-A)\)

割：對與\(s,t(s \neq t)\)，若\(s \in A,t \notin A\)，則稱\(A\)為\(s,t\)的割。
最小割：對於\(s,t\)的割中\(f(A)\)最小的那一個\(A\)，寫作\(\alpha(s,t)\)。

最小割樹(Gomory-Hu tree)：
考慮一棵樹\(T=(V,E)\)，使得\(\alpha(u,v)=\min_{(s,t) \in path(u,v),}\alpha(s,t)\)。
並且對於\((s,t)\in E, \alpha(s,t)=\{x|刪掉(s,t)后x與s聯通\}\)。

一個很自然的問題是最小割樹是否存在，本文隨后將給出構造性證明。
由於對稱性和次模性我們可以得到一些很有用的等式。

次模性的定義和下式等價
\(f(A)+f(B) \ge f(A \bigcup B)+ f(A \bigcap B)\)

由上面的結論和對稱性可以得到
\(f(A)+f(B) \ge f(A - B)+ f(A - B)\)
證明十分顯然，這里略去。

引理

令\(X=\alpha(u,v),W=\alpha(s,t)\)。不存在一組\((s,t),(u,v)\)使得他們相交。
即\(X,W\)要么交集為空，要么存在\(X \subseteq W\)或\(W \subseteq X\)

考慮反證，不失一般性地令 \(s\in W\),\(u \in X\)，並且\(s \in X\)。
那么考慮分類討論。
Case1 $t\notin X \(,那么我們有 \)f(X)+f(W) \ge f(X \bigcap W) + f(X \bigcup W)\( 由最小割定義可以得到，\)f(X \bigcap W) \ge f(X),f(W)\( 所以\)f(X \bigcup W) \le f(X),f(W)$，顯然矛盾。

Case2 $t\in X \(,那么我們有 \)f(X)+f(W) \ge f(X - W) + f(X + W)\( 由最小割定義可以得到，\)f(X - W) \ge f(W)\(，\)f(W-X) \ge f(X)$，矛盾。

考慮構造最小割樹。
我們定義一個廣義最小割樹，即我們有若干個點集\(\{C_i\}\)，然后這些點集通過一些邊連成一棵樹，並且每一條邊\((S,T)\),其\(\alpha(S,T)\)為刪掉這條邊后剩下的兩個不連通的子集。
不難發現上面的最小割樹其實就是這里\(|C_i|=1\)的情況。
考慮每次拿出一個\(|C_i| \ge 2\)的點集\(R\)，隨兩個點\((u,v)\)，求出\(X=\alpha(u,v)\)，然后將\(R\)分成\(R_1=R \bigcap X\) 和\(R_2=R - X\)，在\((R1,R2)\)上連一條邊，原來連到\(R\)的邊，根據其是分在\(X\)里還是\(V-X\)，分別連到\(R_1\)和\(R_2\)
重復這個操作直到\(|C_i|=1\)
根據引理這肯定是對的。

現在我們構造的最小割樹已經滿足\((s,t)\in E, \alpha(s,t)=\{x|刪掉(s,t)后x與s聯通\}\)。
我們還需要證明其滿足\(\alpha(u,v)=\min_{(s,t) \in path(u,v),}\alpha(s,t)\)。
不妨考慮\(\alpha(s,t)\)是u,v路徑上最小的割。
顯然有\(\alpha(u,v) \le \alpha(s,t)\)。
對於任意\(i,j,k,都有\alpha(i,k) \ge \min\{\alpha(i,j),\alpha(j,k)\}\)。
因此可以得到\(\alpha(u,v) \ge \min_{(s,t) \in path(u,v)} \{\alpha(s,t) \}\) 。
所以有\(\alpha(u,v)= \alpha(s,t)\)。

如果存在一張圖\(G=(V,E)\)，定義\(f(A)={ \sum_{(u,v) \in E,u \in A, v \notin A} w((u,v))}\)，\(\alpha(s,t)= \min_{s \in A,t \notin A}f(A)\)，不難發現\(\alpha(s,t)\)就是\(s,t\)在無向圖上的最小割，而且這個函數\(f\)顯然是滿足對稱性和次模性的。