前言
函數的凹凸性是函數的性質之一，其主要是為了刻畫函數的單調性中增長率的不同變化情形而引入的，有了它的加盟，我們對函數的單調性就能描述的更准確，更細膩。
函數凹凸性
- 在高中階段，有的題目中會涉及到函數的凹凸性，簡單做個介紹。如圖所示，函數\(y=f(x)\)就是上凸函數的圖像例子。
- 那么高中階段怎么定義函數的凹凸性呢？
如上圖中的函數\(f(x)\)，在區間\(D\)上，如果對任意的\(x_1\)，\(x_2\)，從形上直觀的看，會發現其圖像是向上凸起的，從函數值的角度來總結描述會發現，其總滿足\(f(\cfrac{x_1+x_2}{2})>\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，那么就說函數在區間\(D\)上是上凸函數；
同理，如上圖中的函數\(f(x)\)，在區間\(D\)上，如果對任意的\(x_1\)，\(x_2\)，從形上直觀的看，會發現其圖像是向下凹陷的，從函數值的角度來總結描述會發現，其總滿足\(f(\cfrac{x_1+x_2}{2})<\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，那么就說函數在區間\(D\)上是下凹函數；
已經學過
我們高中學過的上凸函數如\(f(x)=lnx\)，\(f(x)=\sqrt{x-1}\)，再比如函數\(f(x)=-x^2\)等；下凹函數如\(f(x)=x^2\)，\(y=2^x\)等，還有一部分上凸一部分下凹的函數如\(f(x)=x^3\)等。
- 函數的凹凸性反應了函數圖像變化的一種特點，它並不能直接反應單調性。
函數單調遞增或遞減的五種代表形式，主要依據函數的切線的變化情況來確定；
- 函數的導數與函數的凹凸性：
函數\(y=f(x)\)在區間\([a，b]\)滿足\(f'(x)>0\)，則函數在區間\([a，b]\)上單調遞增；
滿足\(f'(x)<0\)，則函數在區間\([a，b]\)上單調遞減。
若\(f''(x)>0\)，則函數\(f(x)\)為凹函數；若\(f''(x)<0\)，則函數\(f(x)\)為凸函數。
引例，如函數\(y=f(x)=x^3\)，\(f'(x)=3x^2\ge 0\)，故函數\(f(x)=x^3\)在\((-\infty，+\infty)\)上單調遞增，
\(f''(x)=6x\)，當\(x>0\)時，\(f''(x)>0\)，當\(x<0\)時，\(f''(x)<0\)，
故函數\(f(x)=x^3\)，在區間\((0，+\infty)\)上為凹函數，在區間\((-\infty，0)\)上為凸函數。
凹凸性應用：
- 補充解析：當杯中水的高度\(h\)沿着線段\(OA\)增長時，由於線段\(OA\)的斜率是固定不變的，故容器必然會是上下大小一致的，
當杯中水的高度\(h\)沿着上凸形曲線\(OA\)增長時，由於上凸形曲段\(OA\)的斜率是由大到小變化的，故容器必然會是上大下小形的，
當杯中水的高度\(h\)沿着下凹形曲線\(OA\)增長時，由於下凹形曲線\(OA\)的斜率是由小到大變化的，故容器必然會是下大上小形的，
①\((x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0\)；
②\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；
③\(f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1\)；
④\(\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(\cfrac{x_1+x_2}{2})\)；
其中正確結論的序號是【②③④】．
分析：由於函數\(f(x)=e^x-1\)在區間\([0，e]\)上單調遞增，
對於選項①而言，函數\(f(x)\)單調遞減，故①錯誤；
對於選項②變形得到，\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；即\(\cfrac{f(x_1)}{x_1}<\cfrac{f(x_2)}{x_2}\)；
即\(\cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<\cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0}\)；借助圖像很容易說明②正確；
對於選項③而言，變形得到\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\)，即函數單調遞增，故③正確；
對於選項④而言，刻畫的是函數的凹凸性，也是正確的，故正確結論的序號是【②③④】．
