前言
函数的凹凸性是函数的性质之一，其主要是为了刻画函数的单调性中增长率的不同变化情形而引入的，有了它的加盟，我们对函数的单调性就能描述的更准确，更细腻。
函数凹凸性
- 在高中阶段，有的题目中会涉及到函数的凹凸性，简单做个介绍。如图所示，函数\(y=f(x)\)就是上凸函数的图像例子。
- 那么高中阶段怎么定义函数的凹凸性呢？
如上图中的函数\(f(x)\)，在区间\(D\)上，如果对任意的\(x_1\)，\(x_2\)，从形上直观的看，会发现其图像是向上凸起的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足\(f(\cfrac{x_1+x_2}{2})>\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，那么就说函数在区间\(D\)上是上凸函数；
同理，如上图中的函数\(f(x)\)，在区间\(D\)上，如果对任意的\(x_1\)，\(x_2\)，从形上直观的看，会发现其图像是向下凹陷的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足\(f(\cfrac{x_1+x_2}{2})<\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，那么就说函数在区间\(D\)上是下凹函数；
已经学过
我们高中学过的上凸函数如\(f(x)=lnx\)，\(f(x)=\sqrt{x-1}\)，再比如函数\(f(x)=-x^2\)等；下凹函数如\(f(x)=x^2\)，\(y=2^x\)等，还有一部分上凸一部分下凹的函数如\(f(x)=x^3\)等。
- 函数的凹凸性反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。
函数单调递增或递减的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；
- 函数的导数与函数的凹凸性：
函数\(y=f(x)\)在区间\([a，b]\)满足\(f'(x)>0\)，则函数在区间\([a，b]\)上单调递增；
满足\(f'(x)<0\)，则函数在区间\([a，b]\)上单调递减。
若\(f''(x)>0\)，则函数\(f(x)\)为凹函数；若\(f''(x)<0\)，则函数\(f(x)\)为凸函数。
引例，如函数\(y=f(x)=x^3\)，\(f'(x)=3x^2\ge 0\)，故函数\(f(x)=x^3\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增，
\(f''(x)=6x\)，当\(x>0\)时，\(f''(x)>0\)，当\(x<0\)时，\(f''(x)<0\)，
故函数\(f(x)=x^3\)，在区间\((0，+\infty)\)上为凹函数，在区间\((-\infty，0)\)上为凸函数。
凹凸性应用：
- 补充解析：当杯中水的高度\(h\)沿着线段\(OA\)增长时，由于线段\(OA\)的斜率是固定不变的，故容器必然会是上下大小一致的，
当杯中水的高度\(h\)沿着上凸形曲线\(OA\)增长时，由于上凸形曲段\(OA\)的斜率是由大到小变化的，故容器必然会是上大下小形的，
当杯中水的高度\(h\)沿着下凹形曲线\(OA\)增长时，由于下凹形曲线\(OA\)的斜率是由小到大变化的，故容器必然会是下大上小形的，
①\((x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0\)；
②\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；
③\(f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1\)；
④\(\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(\cfrac{x_1+x_2}{2})\)；
其中正确结论的序号是【②③④】．
分析：由于函数\(f(x)=e^x-1\)在区间\([0，e]\)上单调递增，
对于选项①而言，函数\(f(x)\)单调递减，故①错误；
对于选项②变形得到，\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；即\(\cfrac{f(x_1)}{x_1}<\cfrac{f(x_2)}{x_2}\)；
即\(\cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<\cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0}\)；借助图像很容易说明②正确；
对于选项③而言，变形得到\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\)，即函数单调递增，故③正确；
对于选项④而言，刻画的是函数的凹凸性，也是正确的，故正确结论的序号是【②③④】．
