六、函數單調性與凹凸性
1、函數的單調性與極值
1.1 單調性
∀x1，x2∈I，若x1<x2時，f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，則稱f(x)在I內單調增(單調減)。若x1≤x2時，f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2))，則稱f(x)在I內廣義單調增(或廣義單調減)，還可以叫做單調不減（單調不增）。
- 定理 1
若∀x∈[a,b]，f’(x)>0(或f’(x)<0)，則f(x)在[a,b]內單調增(或單調減)。
1.2 極值
設f(x)在x0的鄰域內有定義，那么對x0某空心鄰域內的任一x，
若f(x)<f(x0)，則稱x0是f(x)的極大值點；
若f(x)>f(x0)，則稱x0是f(x)的極小值點。
1.3 駐點
若f’(x0)=0，則x0是f(x)的駐點。
- 定理 2(第一充分判別定理)
設連續函數在x0的去心鄰域內可導，若x∈(x0-δ, x0)時，f’(x)>0 (<0)；x∈(x0, x0+δ)時，f’(x)<0 (>0)，則f(x)在x0處取得極大(小)值 (點x=x0可以是f(x)的不可導點)。 - 定理 3(第二充分判別定理)
設f’(x0)=0，f(x)在x0處二階可導，當f’’(x0)<0時，f(x0)為極大值；當f’’(x0)>0時，f(x0)為極小值。 - 推論
設f’(x0)=f’’(x0)=···=fn-1(x0)=0，fn(x0)≠0(n=1,2,3,···)
① 當n為偶數時，若fn(x0)<0，則f(x0)是f(x)的極大值；若fn(x0)>0，則f(x0)是f(x)的極小值。
② 當n為奇數時，f(x0)不是f(x)的極值。
2、函數的凹凸性與拐點
2.1 凹凸性
對於可導函數f(x)的圖形
① 若在區間[a,b]中，f(x)都位於它的每一點切線的上側，即f(x+△x)>f(x)+f’(x)·△x，則稱曲線f(x)在[a,b]中是(向上)凹的。
② 若在區間[a,b]中，f(x)都位於它的每一點切線的下側，即f(x+△x)<f(x)+f’(x)·△x，則稱曲線f(x)在[a,b]中是(向上)凸的。
-
定理 1
若在[a,b]中f’’(x)>0，則曲線f(x)在[a,b]中是凹的；若在[a,b]中f’’(x)<0，則曲線f(x)在[a,b]中是凸的。
2.2 拐點
設曲線y=f(x)連續且處處有切線，則其凹與凸的分界點稱為此曲線的拐點。
- 定理 2
設連續函數f(x)在x0的去心鄰域內二階可導，則
① 若f’’(x)在x0的左、右鄰域內異號，則點(x0, f(x0))是y=f(x)的拐點；
② 若f’’(x)在x0的左、右鄰域內都為正(或負)，則y=f(x)在x0的鄰域內凹(凸)。 - 定理 3
設f(x)在x0處三階可導，且f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，則點(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點。 - 推論
設f(x)在x0處n階可導，且
f’’(x0)=f’’’(x0)=···=fn-1(x0)=0，fn(x0)≠0(n=3,4,···)
① 當n為奇數時，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐點；
② 當n為偶數時，(x0,f(x0))不是y=f(x)的拐點。