高數基礎知識整理1.函數

一、函數

1、函數

1.1 函數的定義

設x和y是兩個變量(均在實數集R內取值)，D是一個給定的非空數集，如果對於每個數x∈D，按照某個對應法則f，變量y都有唯一確定的數值和它對應，則稱變量y是變量x的函數，記作y=f(x)。其中D稱為函數y=f(x)的定義域，x稱為自變量，y稱為因變量。函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f的值域。

1.2 函數的性質

1.2.1 有界性

設y=f(x)在區間I上有定義，如果存在正數M，對於任意x∈I，恆有|f(x)|≤M，則稱y=f(x)在區間I上有界；否則稱為無界。
如果存在實數M₁，對於任意x∈I，恆有f(x)≤M₁，則稱y=f(x)在區間I上有上界；
如果存在實數M₂，對於任意x∈I，恆有f(x)≥M₂，則稱y=f(x)在區間I上有下界；
y=f(x)在區間I上有界⟺既有上界又有下界。

1.2.2 單調性

設y=f(x)在區間I上有定義，如果∀x₁，x₂∈I，當x₁<x₂時，恆有f(x₁)<f(x₂) (或f(x₁)>f(x₂))，則稱y=f(x)在區間I上是單調增加(或單調減小)的。

1.2.3 周期性

設f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的常數T，使得對於任一x∈D，有x±T∈D且f(x±T)=f(x)，則f(x)稱為周期函數，T稱為f(x)的周期。通常把滿足上式的最小正數T稱為f(x)的周期。

1.2.4 奇偶性

設f(x)的定義域D關於原點對稱，如果對於任一x∈D，恆有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，則稱f(x)為偶函數(或奇函數)。偶函數的圖形關於y軸對稱，奇函數的圖形關於原點對稱。

1.3 復合函數

設y=f(u)，u=φ(x)，若φ(x)的值域與f(u)的定義域有非空交集，則由y=f(u)及u=φ(x)可復合而成復合函數y=f[φ(x)]，u稱為中間變量。

1.4 反函數

設y=f(x)的定義域為D，值域為W。若∀y∈W，存在唯一確定的x∈D，滿足y=f(x)，則得到的x是y的函數，記為x=φ(y)，稱為y=f(x)的反函數，習慣成記為y= f^-1(x) 。

1.5 隱函數

設有關系式F(x,y)=0，若對∀x∈D，存在唯一確定的y滿足F(x,y)=0與x相對應，由此確定的y與x的函數關系y=y(x)稱為由方程F(x,y)=0所確定的隱函數。

2、基本初等函數及初等函數

2.1 基本初等函數

2.1.1 冪函數

y=x^α, (α∈R)

2.1.2 指數函數

y=a^x,(a>0，a≠1)

2.1.3 對數函數

y=log_ax,(a>0，a≠1)

2.1.4 三角函數

• 正弦函數
  y=sinx,x∈(−∞,+∞),y∈[−1,1],T=2π
  
• 余弦函數
  y=cosx,x∈(−∞,+∞),y∈[−1,1],T=2π
  
• 正切函數
  y=tanx,x∈{x∣x≠kπ±π/2,k∈Z},y∈(−∞,+∞),T=π
  
• 余切函數
  y=cotx,x∈{x∣x≠kπ,k∈Z},y∈(−∞,+∞),T=π
  
• 正割函數
  y=secx=1/cosx,x∈{x∣x≠kπ±π/2,k∈Z},y∈(−∞,−1]∪[1,+∞),T=2π
  
• 余割函數
  y=cscx=1/sinx,x∈{x∣x≠kπ,k∈Z},y∈(−∞,−1]∪[1,+∞),T=2π
  

2.1.5 反三角函數

• 反正弦函數
  y=arcsinx,x∈[−1,1],y∈[−π/2,π/2]
  
• 反余弦函數
  y=arccosx,x∈[−1,1],y∈[0,π]
  
• 反正切函數
  y=arctanx,x∈(−∞,+∞),y∈(−π/2,π/2)
  
• 反余切函數
  y=arccotx,x∈(−∞,+∞),y∈(0,π)
  

2.2 初等函數

由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的復合運算所構成並可用一個式子表示的函數稱為初等函數。

3、常用函數

3.1 絕對值函數

3.2 符號函數

3.3 取整函數

3.4 狄利克雷函數

3.5 最值函數

3.6 變積分上限函數

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，且x∈[a,b]，如果∫^x_af(t)dt的上限x在區間[a,b]上任意變動，則對於每一個取定的x值，定積分有一個對應值，所以它在[a,b]上定義了一個函數，記

稱Φ(x)為變積分上限函數

3.7 雙曲函數

• 雙曲正弦函數

  

  

• 雙曲余弦函數
  

  

• 雙曲正切函數
  
  

• 雙曲余切函數
  
  

• 雙曲正割函數
  
  

• 雙曲余割函數
  
  

• 反雙曲正弦函數 (重點函數！！！)
  
  

• 反雙曲余弦函數
  
  

• 反雙曲正切函數