高數基礎知識整理2.極限

二、極限

1、極限的定義

• ① 數列極限的定義
  對於數列{X_n}，常數a，若對∀ε>0，∃正整數N，當n>N時，有|x_n-a|<ε，則稱a為{x_n}的極限，或者稱{x_n收斂於a}，記為 $$\lim\limits_{x \to ∞ }x_n=a$$

• ② 當 x→∞時 f(x)的極限
  若存在常數A，∀ε>0，∃正數X，當|x|>X時，有|f(x)-A|<ε，則稱A為f(x)當x→∞時的極限，記為 $$\lim\limits_{x \to ∞ }f(x)=A$$

• ③ 當 x→x₀(x₀為有限值) f(x)的極限
  若存在常數A，∀ε>0，∃δ>0，當0<|x-x₀|<δ時，有|f(x)-A|<ε，則稱A為f(x)當x→x₀時的極限，記為 $$\lim\limits_{x \to x_0 }f(x)=A$$

• ④ 當 x→x₀時 (x₀為有限值) f(x)的左右極限
  若存在常數A，∀ε>0，∃δ>0，當0<x-x₀<δ時，有|f(x)-A|<ε，則稱A為f(x)當x→x₀時的右極限，記為

  \[\lim\limits_{x \to x_0^+ }f(x)=A或f(x_0+0)=A \]

  若存在常數A，∀ε>0，∃δ>0，當0<x₀-x<δ時，有|f(x)-A|<ε，則稱A為f(x)當x→x₀時的左極限，記為

  \[\lim\limits_{x \to x_0^- }f(x)=A或f(x_0-0)=A \]

2、數列極限的基本性質

• ① 極限的唯一性
  如果{x_n}收斂，那么它的極限唯一。
• ② 收斂數列的有界性
  如果{x_n}收斂，那么{x_n}一定有界。
• ③ 收斂數列的保號性
  如果 $$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a$$ ，且a>0(或a<0)，那么∃正整數N，當n>N時，都有x_n>0(或x_n<0)。
  • 推論1
    如果 $$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a $$ , $$\lim\limits_{n \to \infty }y_{n}=b $$ ，且a>b，那么∃正整數N，當n>N時，x_n>y_n。
  • 推論2
    如果∃正整數N，當n>N時，x_n≥0(或x_n/≤0)，$$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a $$，那么a≥0(或a≤0)。
• ④ 收斂數列與其子數列間的關系
  如果{x_n}收斂於a，那么它的任一子數列也收斂於a。

3、函數極限的基本性質

• ① 極限的唯一性
  如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ， $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=B$$ ，那么A=B。
• ② 函數極限的局部有界性
  如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ，那么∃δ>0，f(x)在{x|0<|x-x₀|<δ}內有界。
• ③ 函數極限的局部保號性
  如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ，而且A>0(或A<0)，那么∃常數δ>0，當0<|x-x₀|<δ時，有f(x)>0(或f(x)<0)。
  如果在x0的某空心鄰域內f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ ，那么A≥0(或A≤0)；
• ④ 函數極限與數列極限的關系
  如果 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f(x)=A$$ 存在，{x_n}為f(x)的定義域內任一收斂於x₀的數列，且滿足x_n≠x₀，那么 $${f(x_n)}$$必收斂，且 $$\lim\limits_{n \to ∞}f(x_n)=A$$ 。
• ⑤ 復合函數的極限
  設y=f(u)在點u=a處連續，又 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }φ(x)=a$$ ，則 $$\lim\limits_{x \to x_{0} }f[φ(x)]=f(a)$$ 。

4、無窮小量與無窮大量

4.1 定義

• 無窮小量
  如果 $$\lim f(x)=0(x→x_0 或 x→∞)$$ ，那么稱函數f(x)為(當x→x0或x→∞時的)無窮小量。
• 無窮大量
  如果 $$\lim f(x)=∞(x→x_0 或 x→∞)$$ ，那么稱函數f(x)為(當x→x0或x→∞時的)無窮大量。

4.2 性質

• 性質 1
  \[\lim f(x)=A \Leftrightarrow A+α(x) ，其中α(x)是(x→x0或x→∞)無窮小量 \]
  有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；
  有限個無窮小量的乘積仍是無窮小量；
  無窮小量與有界量的乘積仍是無窮小量；

4.3 無窮小量的比較

設在自變量x的同一變化過程中(如x→x0或x→∞)， α(x)，β(x) 都是無窮小：
如果 $$lim\frac{α(x)}{β(x)}=0$$ ，則稱α(x)是β(x)的 高階無窮小 ，記作 $$α(x)=ο(β(x))$$ 。

如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)}=∞$$ ，則稱α(x)是β(x) 的 低階無窮小 。

如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)}=c(c≠0)$$ ，則稱α(x)與β(x)是 同階無窮小 。

如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)}=1$$ ，則稱α(x)與β(x)是 等階無窮小 ，記作 $$α(x)∼β(x)$$ 。

如果 $$\lim\frac{α(x)}{β(x)^{k}}=c(c≠0)$$，則稱α(x)是β(x)的 k階無窮小 。

• 等價無窮小替換定理
  設在自變量x的同一變化過程中, α1(x) ， α2(x) ， β1(x) ， β2(x) 都是無窮小，而且α1(x) ~ α2(x)，β1(x) ~ β2(x)，如果 $$\lim\frac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$$ ，則 $$\lim\frac{α_{1}(x)}{β_{1}(x)}=\lim\frac{α_{2}(x)}{β_{2}(x)}=A$$ 。

4.4 常用等價無窮小

當x→0時，有

\[sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼e^x−1∼ln(1+x)∼x \]

\[1−cosx\sim \frac{1}{2}x^{2} \]

\[a^x−1∼xlna \]

\((1+x)^m−1∼mx\)

5、極限的四則運算

6、極限存在的判別方法

• ① 單調有界定律
  單調增加(或單調減小)且有上界(或有下界)的數列{x_n}必有極限
• ② 夾迫定律
  如果數列{x_n}，{y_n}，{z_n}滿足下列條件：y_n≤x_n≤z_n(n=1,2,⋅⋅⋅) $$\lim\limits_{n \to \infty }y_{n}=a，\lim\limits_{n \to \infty }z_{n}=a$$ ，那么數列{x_n}的極限存在，且 $$\lim\limits_{n \to \infty }x_{n}=a$$