三、函數的連續性
1、函數的連續性定義
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① 設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果 $$\lim\limits_{x→x_{0}}f(x)=f(x)$$ ，那么稱函數f(x)在點x0連續。
如果 $$\lim\limits_{x→x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})$$ 則稱f(x)在x0右連續。
如果 $$\lim\limits_{x→x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})$$ 則稱f(x)在x0左連續。
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② 如果對於∀x0∈(a,b)，f(x)在x0連續，則稱f(x)在(a,b)內連續。
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③ 如果f(x)在(a,b)內連續，且在點x=a右連續，在點x=b左連續，則稱f(x)在閉區間[a,b]上連續。
2、函數的間斷點分類
\[如果\lim\limits_{x→a }f(x)≠f(a) \]
3、連續函數的運算性質
- ① 若函數y=f(x)，g(x)在點x0處連續，則f(x)±g(x)，f(x)⋅g(x)，f(x)/g(x) (g(x0)≠0)在點x0處仍連續。
- ② 設函數y=f(u)在點u=u0處連續，函數u=φ(x)在點x0處連續，且φ(x0)=u0，則復合函數y=f(φ(x))在點x=x0處連續。
- ③ 在區間(a,b)內的單調連續函數，其反函數在其相應區間內仍是單調連續函數。
- ④ 基本初等函數在其定義域內都是連續的；一切初等函數在其有定義的區間內都是連續的。
4、閉區間上連續函數的性質
- ① 有界性與最大值最小值定理
設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，那么f(x)在[a,b]上有界且一定能取得最大值和最小值，即存在正數N>0，使|f(x)|≤N，以及在閉區間[a,b]上有兩點ξ1，ξ2，使得f(ξ1)=m，f(ξ2)=M，其中m，M分別是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。 - ② 介值定理
設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，m，M分別是f(x)在[a,b]上的最小值和最大值，則對任意常數C，m≤C≤M，必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=C。 - ③ 零點定理
設f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號，即f(a)·f(b)<0，那么在開區間(a,b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0