同濟版《高等數學第七版》中有對函數連續性有如下敘述：
其中為了用第二種方式來定義函數連續性而作出了如下說明：
容易看出，上圖內容更多地是從直觀的角度上進行分析，以幫助我們理解第二種定義與第一種定義之間的等價關系。
直觀有直觀的好處，因為若是真要將其中緣由說清楚，可能會要牽扯出更加復雜、抽象的數學知識。事實上，《微積分學教程第8版》中並未對兩種定義之間的關系進行說明而是直接給出結論，而《普林斯頓微積分讀本》中甚至忽略了第一種定義而直接給出函數極限形式的連續性定義。
同時，直觀又有直觀的不足，直觀的不足就在於它更多地是“憑感覺”，而“憑感覺”的結果就是似懂非懂，而這樣一種狀態，對於追求准確的朋友來說是難以接受甚至是難以忍受的。
所以下面嘗試進一步解釋該說明並在最后對“ε-δ”形式的表述作出分析。僅僅是個人理解而已，希望能幫到有需要的人：
首先，我們的目的其實是從\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)推出\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)。
現在\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)是已知條件。另外，\(Δy=f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})\)是我們之前作出的說明，它其實表示的是一個自變量為Δx，因變量為Δy的函數。
由\(Δy=f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})\)知\(f(x_{0}+Δx)=f(x_{0})+Δy\)，令\(t=x_{0}+Δx\)，則當\(Δx→0\)，\(t→x_{0}\)，故由復合函數的極限運算法則，有\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0} f(x_{0}+Δx)=\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\)，又\(f(x_{0}+Δx)=f(x_{0})+Δy\)，故\(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)=\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0})+Δy]=f(x_{0})+\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}Δy=f(x_{0})+\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=f(x_{0})\).
因為我們通常用x來表示自變量，也就是定義域中的具體數值，而字母只是對具體值的表示，函數則是對定義域中的值與值域中的值之間映射關系的描述，所以換一個字母並不改變函數的內涵，於是我們將t換成x也就得到了我們想要證明的結論.
有人可能要說了，由復合函數的極限運算法則：
知，在上面的證明過程中運用復合函數的極限運算法則需要假設極限\(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\)存在，是不是存在極限\(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\)不存在的情況？
答案是不會，因為假設極限\(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\)不存在，即當自變量\(t\rightarrow x_{0}\)，函數\(f(t)\rightarrow ∞\)(注意，因為討論函數在某點連續的前提是假設函數在該點的某一去心鄰域有定義，所以這里默認函數在\(x_{0}\)的鄰域內有定義，也就是說函數極限不存在的情況只能是函數極限為無窮大而不是函數在去心鄰域內無定義。這個假設不影響我們討論函數連續性)，而當\(f(t)\rightarrow ∞\)，\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0} [f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]\)也一定為無窮大，所以\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0} [f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)必定有極限\(\lim\limits_{t\rightarrow x_{0}}f(t)\)存在.
好，現在我們已經從\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)推出\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)，接下來我們由\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)推\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)：
同樣是由復合函數的極限運算法則，若\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x)=f(x_{0})\)，則有\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)-f(x_{0})]=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)+f(x_{0})=0\)（其中將\(x=x_{0}+Δx\)視作復合函數極限運算法則之中的中間變量），證畢.
好了，至此我們已經證明了\(\lim\limits_{Δx\rightarrow 0}[f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})]=0\)是\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)的充分必要條件。所以可以認為這兩種定義是等價的。
因為所學知識有限，基本上只能夠解釋到這個地方。事實上，這里是否真的等價還是一個值得繼續討論的問題，因為等價實際上有着嚴格的定義，有興趣的可以去百科看一下。
不過也罷，畢竟學數學更多地是為了使用，而不是為了追求極致的真理（雖然追求真實也很重要），另外，不見得我們此刻自認為想清楚了一切，關於該問題就不再存在任何疑惑與奧秘，像其他很多理論一樣（如果將數學看做是一種理論的話），數學也需要有一個實證的過程，既然這里的兩個不同定義已經歷過了多年的實證考驗而無人有異議，那么它多多少少也算是值得信賴了，這種值得信賴的感覺，對我來說至少已經足夠令人感到踏實了。
至於“ε-δ”形式的表述，其實我們完全可以將其表述為下面這一種說法：
對於任意的ε>0，存在δ>0，使得當\(0<|x-x_{0}|<δ\)時，即有\(|f(x)-f(x_{0})|<ε\)（\(f(x)\)在\(x_{0}\)處有定義且函數值為\(f(x_{0})\)），
可大家都明白，上面的表達方式其實並不簡潔，而不夠簡潔的數學表述不僅不便於交流，而且有時也容易出錯，那么，是不是有更簡潔的表述方式呢？讓我們回到最初形式的定義：
在上面的表述中，前面一部分其實是對圖片中方框中的部分也就是\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)的說明，而括號中的部分其實無非就是為了說明上圖中的划線部分，也就是\(f(x)\)在\(x_{0}\)的某一領域內有定義，
那么，\(\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})\)已經說明了函數在\(x_{0}\)的某一去心鄰域內有定義，接下來該如何簡單地表達函數\(f(x)\)在\(x_{0}\)處有定義且函數值為\(f(x_{0})\)呢，
我們都知道，\(f(x)\)在\(x_{0}\)處有定義且函數值為\(f(x_{0})\)其實就是\(f(x)|_{x=x_{0}}=f(x_{0})\)，即\(f(x)|_{x=x_{0}}-f(x_{0})=0\)，也就是函數在\(x=x_{0}\)時有定義，且函數值為\(f(x_{0})\)，或者說當\(x-x_{0}=0\)，\(f(x)|_{x=x_{0}}-f(x_{0})=0\)，
相信你已經發現了函數\(f(x)\)在\(x_{0}\)有定義與“ε-δ”形式的表述之間的關系，事實上，對於任意的ε>0，存在δ>0，使得當\(|x-x_{0}|<δ\)時，即有\(|f(x)-f(x_{0})|<ε\)意味着，對於任一小的數ε>0，因\(x-x_{0}=0\)恆滿足\(|x-x_{0}|<δ\)，故\(|f(x)-f(x_{0})|<ε\)恆成立，故當\(x-x_{0}=0\)時，\(|f(x)-f(x_{0})|\)必定為0，也就是\(f(x)|_{x=x_{0}}-f(x_{0})=0\)，故該表述與之前不夠簡潔的說法完全一致。