數學分析(0): 函數閉區間連續性質

函數在閉區間連續性質

這個名字看起來就感覺跟基礎的點集拓撲有點關系，確界原理，閉區間套，實數的最小上界性質。

1. 閉區間連續定義
2. 引理 a
3. 從確界原理到單調有界
4. 從單調有界到閉區間套
5. 介值定理（零點存在性）
6. 函數在某點連續，則在其某鄰域上有界
7. 函數在閉區間連續則有界

閉區間連續定義

若函數 \(f\) 在閉區間 \([a, b]\) 上有定義，在 \((a, b)\) 連續，且在 \(a, b\) 分別右連續和左連續，那么稱 \(f\) 在 \([a, b]\) 連續。

引理 a

設 \(\{x_n\}\sub [a, b]\)，\(x_n \to x_0\) 則 \(x_0 \in [a, b]\)

證明：從 \(a \le x_n \le b\) 可得 \(a \le \lim{x_n} = x_0 \le b\)

當初看極限的不等式的時候並沒有意識到這個 ≤ 的含金量

這個不等式可以反證一下:
若 \(x_0 < a\)，那么取 \(\epsilon = x_0 - a\)，是不存在 \(x_n\) 滿足極限定義的

這個引理也因此對開區間不成立： \(\{x_n\}\sub (a, b), x_n \to x_0\)，則 \(x_0\) 不一定 \(\in (a, b)\)

從確界原理到單調有界

若 \(\{a_n\}\) 單調且有上界，那么該數列收斂到上確界

由確界原理，有上界故上確界存在，記為 \(\beta\)，下證 \(\{a_n\}\) 收斂到 \(\beta\)

\(\forall \epsilon > 0\), 若不存在 \(N>0\)，使得 \(\forall n > N, \beta - a_n < \epsilon\)

也即 \(\forall N>0\)，\(\exist m > N, a_m \le \beta - \epsilon\)

那么因為 \(\{a_n\}\) 單調，所以 \(a_0 \le a_1 \le .. \le a_m \le \beta - \epsilon\)

若存在 \(k\) 使得 \(a_k > \beta - \epsilon\)，則取 \(m=k\) 會矛盾，因此不存在 \(k\)

因此存在 \(N>0\)，使得 \(\forall n > N, \beta - a_n < \epsilon\)

也即 \(\{a_n\}\) 收斂到 \(\beta\)

從單調有界到閉區間套

閉區間列 \(\{[a_n, b_n]\}\) 滿足下面兩個條件：

1. \([a_{n+1}, b_{n+1}] \sub [a_n, b_n]\)
2. \(\lim_{n\to \infin} (b_n - a_n) = 0\)

那么有且僅有一個 \(x\in \R, \forall n, x\in [a_n, b_n]\)

證明:

\(\{a_n\}\) 有上界（任意 \(b_n\)），故有上確界，記為 \(c_1\)，同理 \(\{b_n\}\) 有下確界，記為 \(c_2\)

由單調有界知 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 收斂，故

\[\lim_{n\to \infin} (b_n - a_n) = \lim_{n\to \infin} b_n - \lim_{n\to \infin}a_n = 0 \]

所以 \(\lim_{n\to \infin} b_n = c_2 = c_1 = \lim_{n\to \infin}a_n\)

因此 \(c_1\) 滿足 \(\forall n, c_1 \in [a_n, b_n]\)

若 \(c' < c_1\) 也滿足，那么 \(c'\) 是 \(\{a_n\}\) 上界，矛盾，另一邊同理

因此 \(c_1\) 是題設唯一實數

介值定理（零點存在性）

\(f\) 在 \([a, b]\) 連續，且 \(f(a)f(b) < 0\) 那么必存在 \(c\in (a, b)\) 使得 \(f(c) = 0\)

二分，閉區間套

存在性似乎都只能用實數的完備性來證，確界原理，閉區間套等等

函數在某點連續，則在其某鄰域上有界

這個從連續的定義出發來證

連續定義：
設 \(f\) 在 \(x_0\) 的鄰域 \(U(x_0,\eta)\) 上有定義，且 \(\forall \epsilon>0, \exist \delta >0 , s.t. ~\forall x\in U(x_0, \delta)\)

\[|f(x) - f(x_0)| < \epsilon \]

此時 \(f(x_0) - \epsilon < f(x) < \epsilon + f(x_0)\)，故 \(f(x)\) 在 \(U(x_0, \delta)\) 有界

函數在閉區間連續則有界

若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 連續，那么 \(f(x)\) 有且能取到最小值和最大值

反證。取得一個點使得他的鄰域無界

二分 \([a, b]\) 用閉區間套得到一個閉區間序列和一個點 \(c\)（不妨設 \(c\in (a, b)\)），這些閉區間序列都無界。
因為 \(f\) 在 \([a, b]\) 連續，故 \(f\) 在 \(c\) 連續。因此 \(f\) 在 \(U(c, \eta)\) 上連續，然而，必能取到 \(N > 0\) 使得 \(\forall n>N\)，\([a_n, b_n]\sub U(c, \eta)\)，故而 \(U(c, \eta)\)，矛盾。