3、定積分（3）：基本性質
解決了可積性問題，這一篇來介紹除定積分中值定理外的基本性質。
一、運算性質
1、線性性：設$f$、$g \in R[a,b]$，$\alpha$、$\beta \in R$，則有
$\int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$
2、可乘性：設$f$、$g \in R[a,b]$，則$fg \in R[a,b]$。
證明：由定義，$f$、$g$均有界，則它們有共同界$M$。由於可積，則對於任意$\epsilon > 0$，存在分割$\Delta$，使$f$、$g$的振幅面積都有
$\sum_{i=1}^{n} \omega_i \Delta x_i < \frac{\epsilon}{2M}$
在每個小區間上，有
$| f(x_1)g(x_1) - f(x_2)g(x_2) |$
$\leq | f(x_1)g(x_1) - f(x_1)g(x_2) | + | f(x_1)g(x_2) - f(x_2)g(x_2) |$
$\leq M \omega_i (f) + M \omega_i (g)$
因此$fg$的振幅面積就有
$\sum_{i=1}^{n} \omega'_i \Delta x_i \leq 2·M · \frac{\epsilon}{2M} = \epsilon$
可積性就得到了證明。
注意，這里只是證明了可積，但沒有如線性性般給出積分的值。
上面兩條性質告訴我們可積性在加減法、乘法下是保持的，但是除法不一定保持；復合也是不一定的。不過關於復合函數仍有以下性質：
3、設$g \in R[a,b]$，$f \in C(I)$，其中$I$是$g$在$[a,b]$上的值域，則$f(g) \in R[a,b]$。
證明是容易的，依靠$f$的一致連續性，加上$g$在區間上的振幅隨$\lambda(\Delta) \to 0$而趨於$0$即可。
關於絕對值運算有下面的性質：
4、設$f \in R[a,b]$，則$|f| \in R[a,b]$，且有
$| \int_{a}^{b} f(x) dx | \leq \int_{a}^{b} |f| dx$
證明：事實上，在任何區間上，$|f|$的振幅都不會超過$f$的振幅，由此可積性立刻得到證明。至於性質的后半部分，考慮兩者在$\Delta$下的任意黎曼和，我們有：
$| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i | \leq \sum_{i=1}^{n} | f(\xi_i) | \Delta x_i$
性質也得到了證明。
二、積分性質
討論下面的性質之前，做一個一般性的規定：對任意$f$、$a$，規定$\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$。
1、設$a <c < b$，則$f \in R[a,b]$的充分必要條件為$f \in R[a,c]$且$f \in R[c,b]$。可積時，我們有
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$
先來證明前半部分：
必要性：嘗試去證明$f$在$[a,b]$的任意子區間$[l,r]$上也是可積的。事實上，由於可積，對任意$\epsilon > 0$，存在一個分割$\Delta$，使得$f$關於其的振幅面積小於$\epsilon$，則在$[l,r]$上，這一振幅面積同樣也小於$\epsilon$，必要性也就得到了證明。
充分性：對於任意$\epsilon > 0$，當然存在$[a,c]$的一個分割$\Delta_1$、$[c,b]$的一個分割$\Delta_2$，使得$f$關於兩者的振幅面積都小於$\frac{\epsilon}{2}$，記$\Delta = \Delta_1 \cup \Delta_2$，就有了$f$關於$\Delta$的振幅面積小於$\epsilon$，充分性也得到了證明。
關於后面的積分等式，只要在充分性證明的基礎上，對$\Delta_1$、$\Delta_2$取黎曼和即可。
如果我們不規定$c$的位置，只是規定$f$在任意一個涉及到的區間上可積，然后做下面形式上的規定：
$\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$
則性質也可以成立。
2、若$f \in R[a,b]$，且總有$f(x) \geq 0$，則$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$。
證明是容易的，只要考察黎曼和的正負性即可。
這一性質可以推出：若$f$、$g \in R[a,b]$，且總有$f \geq g$，則$\int_{a}^{b} f(x) dx \geq \int_{a}^{b} g(x) dx$。只要對$f-g$考察積分，再利用線性性即可。
性質2有一個互補的版本：
3、若$f \in R[a,b]$，$\int_{a}^{b} f(x) dx > 0$，則存在$[a,b]$的子區間$[c,d]$，以及$\mu > 0$，使得在$[c,d]$上總有$f(x) \geq \mu$。
證明：用反證法，假設不存在這樣的子區間和正數，則對$[a,b]$的任意子區間$[c,d]$、$\mu > 0$，總存在$\xi \in [c,d]$，使$f(\xi) < \mu$。對$f$的任意分割$\Delta$，其每個小區間上的介點都取這樣的點，根據$\mu$的任意性，得到的黎曼和非正，則只能有$\int_{a}^{b} f(x) dx \leq 0$，這與前提是矛盾的。
除了反證法，上一節的達布理論也可以用來證明這一性質（而且幾乎直接可得）。
有了性質3，性質2還可以加強：
4、若$f \in R[a,b]$，且總有$f > 0$，則$\int_{a}^{b} f(x) dx > 0$。
證明：看上去是顯然的，然而證明起來不太容易。用反證法假設。由於性質2已經得到證明，反證法假設即是：$\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$。對於任意的$\epsilon > 0$，函數$g(x) = \epsilon - f(x)$在$[a,b]$上的積分是$\epsilon(b-a) > 0$，由於性質3，則有一個子區間$[c,d]$，使得$\epsilon - f > 0$，由於$\epsilon$的任意性，可以知道$\int_{c}^{d} f(x) dx = 0$。
下面，令$\epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2}$，對$[c,d]$重復上面的過程，又找到一個子區間$[e,h]$，不斷進行下去，就由於閉區間套定理，得到一個點$\xi$，使得$f(\xi) \leq 0$，這與前提是矛盾的。
上面的閉區間套定理的方法還可以用來證明：
5、若$f \in R[a,b]$，則存在$x_0 \in (a,b)$，使$f$在$x_0$處連續。
證明：只要構造一個閉區間套趨向某個區間內點，由於區間長度趨於$0$，則根據可積性，在其上的振幅$\omega \to 0$，進而推出$f$在$x_0$連續。
以上就是關於定積分的若干基本性質。