數學分析習題筆記
第一章
T1：
\(設\lbrace a_n\rbrace且a_n\rightarrow a \in \Bbb R,又設\lbrace B_n \rbrace為正數列,c_n=\frac{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n},求證\lbrace{c_n}\rbrace收斂\)
\(令M=max\lbrace |a_i|\rbrace ,d_n=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i,e_n=\sum\limits_{i=1}^n b_i\)
當\(e_n\rightarrow \infty\)由stolz定理易證
當 \(e_n \rightarrow l\) 只需證明\(d_n\)收斂於另一常數(\(\lim\limits_{n->\infty}e_n \ne 0\))。
\(\forall \epsilon>0 ,\exist N_1 ,st.\forall m>n>N_1,|d_m-d_n|\le M\cdot|b_{n+1}+\cdots+bm|=M\cdot|e_m-e_n|\)
\(\because e_n \rightarrow l \therefore \exist N_2 當 m,n>N_2 時|e_m-e_n|<\frac{\epsilon}{|M|}\)（Cauchy收斂准則）
\(\therefore N>max(N_1,N_2)時|d_m-d_n|<\epsilon\)
由Cauchy收斂准則可知\(d_n\)收斂，故能完成證明。