数学分析习题笔记
第一章
T1：
\(设\lbrace a_n\rbrace且a_n\rightarrow a \in \Bbb R,又设\lbrace B_n \rbrace为正数列,c_n=\frac{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n},求证\lbrace{c_n}\rbrace收敛\)
\(令M=max\lbrace |a_i|\rbrace ,d_n=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i,e_n=\sum\limits_{i=1}^n b_i\)
当\(e_n\rightarrow \infty\)由stolz定理易证
当 \(e_n \rightarrow l\) 只需证明\(d_n\)收敛于另一常数(\(\lim\limits_{n->\infty}e_n \ne 0\))。
\(\forall \epsilon>0 ,\exist N_1 ,st.\forall m>n>N_1,|d_m-d_n|\le M\cdot|b_{n+1}+\cdots+bm|=M\cdot|e_m-e_n|\)
\(\because e_n \rightarrow l \therefore \exist N_2 当 m,n>N_2 时|e_m-e_n|<\frac{\epsilon}{|M|}\)（Cauchy收敛准则）
\(\therefore N>max(N_1,N_2)时|d_m-d_n|<\epsilon\)
由Cauchy收敛准则可知\(d_n\)收敛，故能完成证明。