关于e的极限
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x} = 1\), or: \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x = 1\)
证明：
- 对于数列形式，单调上升（前项比后项小）且有上界（可以取4证明），用均值不等式可证明。
- 进一步，对于函数形式，可以放缩（对x取下界），用夹迫性证明。
- 注意，对于函数形式，\(\infty\) 是指 同时在 \(+\infty, -\infty\) 收敛。
由无穷小的等价代换，可得结论：
- 若有：\(\alpha (x) \rightarrow 0, \beta (x) \rightarrow \infty\)
- 且能求得 \(\alpha(x) \beta(x) \rightarrow A\)，即\(\alpha(x), \beta(x)\) 同阶，\(\beta(x)\)可被等价代换
- 则有：\(\lim\limits_{x} (1 + \alpha(x))^{\beta(x)} = A\)
关于三角函数的极限
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\)
证明：单位圆中，\(\sin(x) < x < \tan(x)\), 故\(\cos(x) < \frac{sin(x)}{x}< 1\), 由夹迫性可证。
关于指数的极限
\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1\)
证明提示：\(\sqrt[n]{n} = e^{\frac{\ln(n)}{n}}\)