数学分析——数列极限：数列的上下极限

数列极限：数列的上、下极限

本节总结一下数列极限的概念。

数列的上、下极限：概念

定义方法一

注：该定义方法源于^[1]。

由 Bolzano-Weierstrass 定理 ：有界数列必有收敛子列。

这就提示我们：对于不存在极限的有界数列，可以通过研究其子列来刻画其本身的情况。

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定义 1（有界数列的极限点）：设 \(\{x_n\}\) 为一有界数列，若存在它的一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}{x_{n_k}}=\xi \text{，} \]

则称 \(\xi\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的一个 极限点。

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现在，设 \(\{x_n\}\) 为一有界数列，\(E\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的所有极限点汇成的集合，即

\[E=\{\xi\ \mid \xi \text{为数列} \{x_n\} \text{极限点}\} \text{，} \]

则 \(E\) 非空有界。下面进行分析：

• 首先，\(\{x_n\}\) 是非空有界集合，由 Bolzano-Weierstrass 定理 知，\(\{x_n\}\) 必有收敛子列，因此，有界数列 \(\{x_n\}\) 必有极限点，因此，\(E\) 非空。

• 其次，由于 \(\{x_n\}\) 是有界集合，由数列有界的定义，\(\exists m,M \in \mathbb{R},s.t. \forall n \in \mathbb{N}_{+}:m \le x_n \le M\)。

  设 \(\{x_{n_k}\}\) 是有界数列 \(\{x_n\}\) 的任意一个收敛子列，并且 \(\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=\xi\)。则由数列极限的定义，\(\forall \epsilon>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t.\forall k > K:|x_{n_k}-\xi|<\epsilon\)，即：\(\xi-\epsilon<x_{n_k}<\xi+\epsilon\)。

  因此，有这样两个不等式成立：

  • \(m \le x_{n_k}<\xi+\epsilon\)
  • \(\xi-\epsilon<x_{n_k} \le M\)

  由 \(\epsilon\) 的任意性，有：\(m \le \xi \le M\)。又因为 \(\xi\) 是 \(\{x_n\}\) 中的任意一个极限点，因此 \(\forall \xi \in E,m \le \xi \le M\)，因此 \(E\) 有界。

• 综上，\(E\) 非空有界。再由确界存在定理，集合 \(E\) 有上、下确界。

下面的定理，将告诉我们，由有界数列的全体极限点汇成的集合的上、下确界属于该集合。

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定理 1：设 \(\{x_n\}\) 为一有界数列，\(E\) 为由 \(\{x_n\}\) 中所有极限点汇成的集合，则 \(E\) 的上确界 \(H\) 以及下确界 \(h\) 均属于 \(E\)。即

\[H=\max E,h=\min E \text{。} \]

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证明：

首先，先证明 \(H = \max E\)。

\(H\) 是 \(E\) 的上确界，即 \(H =\sup E\)，由上确界的定义，有：（1）\(\forall \xi \in E,\xi \le H\)；（2）\(\forall \epsilon >0,\exists \xi>H -\epsilon\)。

因此，对于任意给定的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\xi\) ，成立：

\[H-\epsilon<\xi \le H < H+\epsilon \text{。} \]

现在，令 \(\epsilon_{k}=\frac{1}{k}(k=1,2,\cdots)\)，

取 \(\epsilon_1=1\)，存在 \(\xi_1 \in E\)，使得 \(H-1<\xi_1<H+1\)；

取 \(\epsilon_2=\frac{1}{2}\)，存在 \(\xi_2 \in E\)，使得 \(H-\frac{1}{2}<\xi_2<H+\frac{1}{2}\)；

……

一般地，取 \(\epsilon_k=\frac{1}{k}\)，存在 \(\xi_k \in E\)，使得 \(H-\frac{1}{k}<\xi_k<H+\frac{1}{k}\)；

不断地做下去，便得到了一个数列 \(\{\xi_k\}\)，且有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+},|\xi_k-H|<\frac{1}{k} \text{，} \]

即：

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}\xi_k=H \text{。} \]

由于 \(\xi_k(k=1,2,\cdot)\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限点，同样地，可令 \(\delta=\frac{1}{k}(k=1,2,\cdots)\)，

取 \(\delta_1=1\)，\(\xi_1\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限点，因此在 \(U(\xi_1,\delta_1)\) 内存在 \(\{x_n\}\) 中的无穷多项，取 \(x_{n_1} \in U(\xi_1,\delta_1)\)；

取 \(\delta_2=\frac{1}{2}\)，\(\xi_2\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限点，因此在 \(U(\xi_2,\delta_2)\) 内存在 \(\{x_n\}\) 中的无穷多项，取 \(x_{n_2} \in U(\xi_2,\delta_2)\)，并且 \(n_2>n_1\)；

……

一般的，取 \(\delta_k=\frac{1}{k}\)，\(\xi_k\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限点，因此在 \(U(\xi_k,\delta_k)\) 内存在 \(\{x_n\}\) 中的无穷多项，取 \(x_{n_k} \in U(\xi_k,\delta_k)\)，并且 \(n_k>n_{k-1}\)；

不断地做下去，便得到了数列 \(\{x_n\}\) 的一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，且有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+}，|x_{n_k}-\xi_k|<\frac{1}{k} \text{，} \]

由三角不等式，即有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+},|x_{n_k}-H| - |\xi_k-H| \le |x_{n_k}-H-\xi_{k}+H|=|x_{n_k}-\xi_k| <\frac{1}{k} \text{，} \]

由 \(\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}\xi_k=H\)，移项后即有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+},|x_{n_k}-H|<\frac{2}{k} \text{，} \]

因此，

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=H \text{。} \]

所以，\(H\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的一个极限点，即 \(H \in E\)，又由于 \(\forall \xi \in E,\xi \le H\)，\(H\) 是 \(\{x_n\}\) 的最大极限点，即

\[H = \max E \text{。} \]

同理，\(h = \min E\) 。

证毕

现在，可以给出有界数列上、下极限的定义。

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定义 2（有界数列的上、下极限）：设 \(\{x_n\}\) 是有界数列，\(E\) 是由 \(\{x_n\}\) 的所有极限点汇成的集合，则称：

• \(E\) 中的最大值 \(H=\max E\) 为有界数列 \(\{x_n\}\) 的上极限，记作： \(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=H\)；
• \(E\) 中的最小值 \(h=\min E\) 为有界数列 \(\{x_n\}\) 的下极限，记作：\(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n=h\)。

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现在，由有界数列的上、下极限的定义，很容易得出以下结论。

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定理 2：设 \(\{x_n\}\) 为一有界数列，则 \(\{x_n\}\) 收敛的充分必要条件为：\(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n\)。

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证明：

• 首先证明必要性。设 \(\{x_n\}\) 收敛，则 \(\{x_n\}\) 的任一子列与其收敛于同一极限。因此由 \(\{x_n\}\) 的所有极限点汇成的集合 \(E\) 仅有一个元素，即 \(\{x_n\}\) 的极限。因此有：

  \[\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n \text{，} \]

• 然后证明充分性。两种思路，分析，或，反证。

  • 设有界数列 \(\{x_n\}\) 的上、下极限分别为：\(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=H\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n=h\)。\(E\) 为由 \(\{x_n\}\) 的所有极限点汇成的集合，由有界数列上、下极限的定义，有：\(\forall \xi \in E,h \le \xi \le H\)。若 \(h=H\)，则显然，\(E\) 中仅有 \(\xi=H=h\)。由于数列 \(\{x_n\}\) 也是本身的子列，因此有：

    \[\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\xi=H=h\text{。} \]

    即，有界数列 \(\{x_n\}\) 收敛。

  • 反证法。设有界数列 \(\{x_n\}\) 的上、下极限分别为：\(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=H\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n=h,H=h\)。若 \(\{x_n\}\) 发散，则至少存在两个收敛于不同极限的子列，这与 \(H=h\) 矛盾，因此 \(\{x_n\}\) 收敛。

证毕

前面给出了有界数列的上、下极限的概念。

但是，在实际应用中，我们碰到的数列不一定会是有界数列，能不能将上、下极限的概念推广到一般情形呢？

首先，我们要从极限点出发。

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定义 3（数列的极限点）：设 \(\{x_n\}\) 为一数列，若存在它的一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=\xi \quad(-\infty \le \xi \le +\infty) \text{，} \]

则称 \(\xi\) 为 \(\{x_n\}\) 的一个极限点。

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分析：

• \(\xi\) 为有限数的情况，不多说，现在重点分析 \(\xi=\pm \infty\) 的情形，这些情况下，将 \(+\infty\)，\(-\infty\) 视为极限点。
  • 若 \(\xi=+\infty\)，则子列 \(\{x_{n_k}\}\) 是正无穷大量，可以等价的描述为：“\(\forall G>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t. \forall k>K:x_{n_k}>G\)”；
  • 若 \(\xi=-\infty\)，则子列 \(\{x_{n_k}\}\) 是负无穷大量，可以等价的描述为：“\(\forall G>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t. \forall k>K:x_{n_k}<-G\)”；
• 设 \(\{x_n\}\) 为一数列，则 \(\{x_n\}\) 要么有界，要么无界。
  • 有界的情况，前文已经分析，现在看无界的情况。
  • 数列无界包含三种情况：
    • 数列 \(\{x_n\}\) 有下界，而无上界，例如 \(\{n\}\)。这种情况下，\(\{x_n\}\)本身即为正无穷大量。因此，\(\{x_n\}\) 必有同为正无穷大的子列存在。此时 \(\xi=+\infty\)

定义方法二

两种定义方法的联系

数列的上、下极限：运算

有关加法的运算

有关乘法的运算

附录

• \(\infty,-\infty,+\infty\) 分别读作 "无穷"，“正无穷”，“负无穷”（有时，将 \(+\infty\) 写作 \(\infty\)）。

  \(+\infty\)、\(-\infty\) 被称为“广义实数”，但实际上它们并不是数，不属于实数集，但为了方便，将其与实数集一起构成“超实数集”。

  • 规定有：\(- \infty< +\infty,\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}: - \infty<\alpha <+\infty\)。
  • 类似于数的运算，可以对其规定一些运算：
    • 广义实数的加法与减法：
      • 若 \(\alpha \in \mathbb{R}\)，则规定：
        • \(\alpha + (+\infty)=(+\infty)+\alpha=+\infty\)，\(\alpha+(-\infty)=(-\infty)+\alpha=-\infty\)；
        • \(\alpha- (+\infty)=-\infty\)，\(\alpha - (- \infty)=+\infty\)；
        • \((+\infty)+(+\infty)=+\infty\)，\((-\infty)+(-\infty)=-\infty\)；
    • 广义实数的乘法与除法：
      • 若 \(\alpha \in \mathbb{R}\)，则规定：
        • \(\alpha \cdot (+\infty)=(+\infty) \cdot \alpha= (+\infty)\)，若 \(\alpha>0\)；
        • \(\alpha \cdot (+\infty)=(+\infty) \cdot \alpha= (-\infty)\)，若 \(\alpha<0\)；
        • \(\alpha \cdot (+\infty)=(+\infty) \cdot \alpha= 0\)，若 \(\alpha=0\)；
        • \(\alpha \cdot (-\infty)=(-\infty) \cdot \alpha= (-\infty)\)，若 \(\alpha>0\)；
        • \(\alpha \cdot (-\infty)=(-\infty) \cdot \alpha= (+\infty)\)，若 \(\alpha<0\)；
        • \(\alpha \cdot (-\infty)=(-\infty) \cdot \alpha=0\)，若 \(\alpha=0\)；
      • \(\frac{1}{\pm \infty}=0\)，\(\frac{\pm \infty}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}\cdot (\pm \infty)\quad( \alpha \ne 0)\)。

参考文献

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1. 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析 上册. 第2版. 北京：高等教育出版社. 2004. ↩︎