数学分析——数列极限：数列极限的运算

数列极限：数列极限的运算

数列极限的和、差运算

定理 \(\mathbf{5}\)：若数列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收敛，且 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b\)，则

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{(\alpha x_n \pm \beta y_n)} = \alpha a\pm \beta b \text{。} \]

证明：

由 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b\)，可知对于 \(\forall \epsilon>0\)，分别存在正整数 \(N_1,N_2 \in \mathbb{N}^{+}\)，使得当 \(n >N_1\) 时有

\[ |x_n-a| < \epsilon ， \]

当 \(n>N_2\) 时有：

\[ |y_n-b| < \epsilon ， \]

取 \(N = \max \{N_1,N_2\}\)，则当 \(n>N\) 时有

\[ \begin{aligned} \left|(\alpha x_n + \beta y_n) - (\alpha a + \beta b)\right| &= \left|\alpha (x_n-a) + \beta (y_n-b)\right| \\ & \le \left|\alpha(x_n-a)\right| +\left|\beta(y_n-b)\right| \\ & \le \left(\left|\alpha\right| + \left|\beta\right|\right)\epsilon， \end{aligned} \]

故 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\alpha x_n + \beta y_n} = \alpha a + \beta b\)，同理 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\alpha x_n - \beta y_n} = \alpha a - \beta b\)。

证毕

数列极限的乘运算

定理 \(\mathbf{6}\)：若数列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收敛，且 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b\)，则

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n y_n} = ab。 \]

证明：

\(\quad \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n} = a\)，则数列 \(\{x_n\}\) 有界，即 \(\exists M>0\)，使得对任意的 \(n\) 有

\[ |x_n| <M\text{，} \]

\(\quad \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n} = b\)，则对于\(\forall \epsilon>0\)，\(\exists N \in \mathbb{N}^{+}\)，使得当 \(n>N\) 时有

\[ \left|y_n-b\right| < \epsilon ， \]

因此

\[\begin{aligned} \left|x_ny_n - ab\right| &= \left|x_n\left(y_n-b\right)+b(x_n-a)\right| \\ & \le \left|x_n(y_n-b)\right| + \left|b(x_n-a)\right| \\ & < (\left|M\right|+\left|b\right|)\epsilon。 \end{aligned} \]

故 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n y_n} = ab\)。

证毕

数列极限的商运算

定理 \(\mathbf{7}\)：若数列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收敛，且 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b \ne 0\)，则

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}} = \frac{a}{b}。 \]

证明：

\(\quad \underset{n \rightarrow \infty} {\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty} {\lim}{y_n}=b \ne 0\)，则 \(\forall \epsilon>0\)，\(\exists N_1\in \mathbb{N}_{+}\)，使得当 \(n>N\) 时，成立

\[\left|x_n-a\right|<\epsilon， \]

\(\quad \exists N_2 \in \mathbb{N}_{+}\)，使得当 \(n>N_2\) 时，成立

\[\left|y_n-a\right|<\epsilon， \]

\(\quad\) 由数列极限的保序性知，\(\exists N_3 \in \mathbb{N}_{+}\)，使得当 \(n>N_3\) 时，成立

\[\left|y_n\right| >|\frac{b}{2}|。 \]

\(\quad\) 因此取 \(N=\max\{N_1,N_2,N_3\}\)，则当 \(n>N\) 时，成立

\[\begin{aligned} \left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{a}{b}\right| &= \left|\frac{bx_n-ay_n}{by_n}\right|= \left|\frac{b \left(x_n-a\right) + a\left(b-y_n\right)}{by_n}\right| \\ &< 2\left|\frac{b \left(x_n-a\right) + a\left(b-y_n\right)}{b^2}\right| \\ &< \frac{2(|b|+|a|)\epsilon}{b^2}。 \end{aligned} \]

因此 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{a}{b}\)。

\(\quad\)

证毕

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.