數學分析——數列極限：數列極限的運算

數列極限：數列極限的運算

數列極限的和、差運算

定理 \(\mathbf{5}\)：若數列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收斂，且 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b\)，則

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{(\alpha x_n \pm \beta y_n)} = \alpha a\pm \beta b \text{。} \]

證明：

由 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b\)，可知對於 \(\forall \epsilon>0\)，分別存在正整數 \(N_1,N_2 \in \mathbb{N}^{+}\)，使得當 \(n >N_1\) 時有

\[ |x_n-a| < \epsilon ， \]

當 \(n>N_2\) 時有：

\[ |y_n-b| < \epsilon ， \]

取 \(N = \max \{N_1,N_2\}\)，則當 \(n>N\) 時有

\[ \begin{aligned} \left|(\alpha x_n + \beta y_n) - (\alpha a + \beta b)\right| &= \left|\alpha (x_n-a) + \beta (y_n-b)\right| \\ & \le \left|\alpha(x_n-a)\right| +\left|\beta(y_n-b)\right| \\ & \le \left(\left|\alpha\right| + \left|\beta\right|\right)\epsilon， \end{aligned} \]

故 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\alpha x_n + \beta y_n} = \alpha a + \beta b\)，同理 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\alpha x_n - \beta y_n} = \alpha a - \beta b\)。

證畢

數列極限的乘運算

定理 \(\mathbf{6}\)：若數列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收斂，且 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b\)，則

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n y_n} = ab。 \]

證明：

\(\quad \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n} = a\)，則數列 \(\{x_n\}\) 有界，即 \(\exists M>0\)，使得對任意的 \(n\) 有

\[ |x_n| <M\text{，} \]

\(\quad \underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n} = b\)，則對於\(\forall \epsilon>0\)，\(\exists N \in \mathbb{N}^{+}\)，使得當 \(n>N\) 時有

\[ \left|y_n-b\right| < \epsilon ， \]

因此

\[\begin{aligned} \left|x_ny_n - ab\right| &= \left|x_n\left(y_n-b\right)+b(x_n-a)\right| \\ & \le \left|x_n(y_n-b)\right| + \left|b(x_n-a)\right| \\ & < (\left|M\right|+\left|b\right|)\epsilon。 \end{aligned} \]

故 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n y_n} = ab\)。

證畢

數列極限的商運算

定理 \(\mathbf{7}\)：若數列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收斂，且 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{y_n}=b \ne 0\)，則

\[\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}} = \frac{a}{b}。 \]

證明：

\(\quad \underset{n \rightarrow \infty} {\lim}{x_n}=a\)，\(\underset{n \rightarrow \infty} {\lim}{y_n}=b \ne 0\)，則 \(\forall \epsilon>0\)，\(\exists N_1\in \mathbb{N}_{+}\)，使得當 \(n>N\) 時，成立

\[\left|x_n-a\right|<\epsilon， \]

\(\quad \exists N_2 \in \mathbb{N}_{+}\)，使得當 \(n>N_2\) 時，成立

\[\left|y_n-a\right|<\epsilon， \]

\(\quad\) 由數列極限的保序性知，\(\exists N_3 \in \mathbb{N}_{+}\)，使得當 \(n>N_3\) 時，成立

\[\left|y_n\right| >|\frac{b}{2}|。 \]

\(\quad\) 因此取 \(N=\max\{N_1,N_2,N_3\}\)，則當 \(n>N\) 時，成立

\[\begin{aligned} \left|\frac{x_n}{y_n}-\frac{a}{b}\right| &= \left|\frac{bx_n-ay_n}{by_n}\right|= \left|\frac{b \left(x_n-a\right) + a\left(b-y_n\right)}{by_n}\right| \\ &< 2\left|\frac{b \left(x_n-a\right) + a\left(b-y_n\right)}{b^2}\right| \\ &< \frac{2(|b|+|a|)\epsilon}{b^2}。 \end{aligned} \]

因此 \(\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{a}{b}\)。

\(\quad\)

證畢

參考文獻

[1] 陳紀修，於崇華，金路著. 數學分析 上 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.
[2] 華東師范大學數學系編. 數學分析 上 第4版. 北京：高等教育出版社, 2010.07.