華東師大版《數學分析》主要面向高等師范院校,這套教材的歷史可參考鏈接1和鏈接2。這套教材使用廣泛,並且是許多院校研究生入學考試的指定參考教材。不過, 從過來人的角度看,這套教材也存在許多問題(例如鏈接)。
華東師大版《數學分析》第五版比第四版增加了少量的內容。本校的李傅山、王培合老師編寫的《數學分析習題課講義》,是可以與華東師大版《數學分析》第四版配套的學習輔導書,共有3冊。這套書包含了第四版教材上的所有習題答案,同時增加了教材之外的一些練習題,許多題目給出了多種解法,對題型作了歸納和推廣。當然,題目一定要自己做,一定不要直接看答案。
對於大一大二的同學,理解並記住課本上的概念和結論,掌握數學分析題目中常用的一些處理技巧,上面兩套書中的題目能夠不看答案自己做出來,那么應對平常的考試和后繼課程就沒問題了。
另外,中國大學MMOC和B站也有華東師范大學《數學分析》課程團隊的老師們制作的《數學分析》國家精品課視頻.
南京大學梅加強老師的《數學分析》是我備課時經常參考的另一本國內教材,我認為這套教材比華東師大版《數學分析》更好一些,特別是多元微積分的部分。
謝惠民等編寫的《數學分析習題課講義》是我看過的國內目前最好的數學分析輔導書。我建議只看正文內容和例題,有些練習題和參考題太難了,即便有提示,也不容易做,量力而行。
菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》是早期非常經典的教材,國內的數學分析教材基本上都有這套前蘇聯教材的影子,許多練習題其實都是這套書里的例題。它的內容太多太詳細,不適合做教材,可以當工具書查閱用。
盧丁的《數學分析原理》也是我備課的主要參考書。這是一本名著,結構簡單明了,內容敘述相當精練,采用了現代數學的觀點與方法,高屋建瓴。被戲稱為Baby Rudin(盧丁的另一本著名教科書《實分析與復分析》被稱為Big Rudin)。在學完數學分析后(大二的寒假),各位同學一定要讀一讀這本書,重新梳理數學分析的知識結構,提高數學品味。
《微積分的歷程:從牛頓到勒貝格》,這是一本專業科普書,包含兩部分:微積分理論基礎的嚴密化過程,Lebesgue積分理論的建立過程。從這本書可以看到數學分析課本上許多概念的發展歷史。
當然, 還有其它一些優秀教材,例如中科大常庚哲史濟懷《數學分析教程》,卓里奇(Zorich)《數學分析》,陶哲軒《實分析》等。習題集也有《吉米多維奇數學分析習題集》,裴禮文《數學分析中的典型問題與方法》等。在熟悉課本內容的基礎上,可以廣泛涉獵不同教材,有助於加深對課本知識的理解,拓展眼界。