關於e的極限
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^\frac{1}{x} = 1\), or: \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x = 1\)
證明：
- 對於數列形式，單調上升（前項比后項小）且有上界（可以取4證明），用均值不等式可證明。
- 進一步，對於函數形式，可以放縮（對x取下界），用夾迫性證明。
- 注意，對於函數形式，\(\infty\) 是指 同時在 \(+\infty, -\infty\) 收斂。
由無窮小的等價代換，可得結論：
- 若有：\(\alpha (x) \rightarrow 0, \beta (x) \rightarrow \infty\)
- 且能求得 \(\alpha(x) \beta(x) \rightarrow A\)，即\(\alpha(x), \beta(x)\) 同階，\(\beta(x)\)可被等價代換
- 則有：\(\lim\limits_{x} (1 + \alpha(x))^{\beta(x)} = A\)
關於三角函數的極限
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x} = 1\)
證明：單位圓中，\(\sin(x) < x < \tan(x)\), 故\(\cos(x) < \frac{sin(x)}{x}< 1\), 由夾迫性可證。
關於指數的極限
\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n} = 1\)
證明提示：\(\sqrt[n]{n} = e^{\frac{\ln(n)}{n}}\)