數學分析——數列極限：數列極限的概念

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數列極限：數列極限的概念

要學習數列極限，首先要搞清楚，什么是數列？

數列基礎

我們所熟知的數列有：

• 三角形數
• 正方形數
• 斐波那契數列
• ……

在中學階段，我們已經學習過數列的基礎知識。

定義 1（數列）：按照一定次序排列的一列數稱為 數列（Sequence of number）。

數列中的每一個數稱為該數列的 項，數列中的每個項都與所對應的序號有關。

數列的一般性質可以表示為：

\[x_1,x_2,\cdots,x_n.\cdots \]

簡單地記作 \(\{x_n\}\)。數列中的第一項稱為 首項，\(x_n\) 稱為數列的 通項。

在 定義1 中，並沒有限制數列包含的項數，按照數列項數是否有限，數列分為 有窮數列 和 無窮數列。有窮數列並沒有什么值得特別研究的地方，因此我們重點研究的是 無窮數列。

另外，在中學階段，我們學習過兩種特殊的數列：等差數列 和 等比數列。

等差數列

等差數列：基礎

等差數列 又稱為 算術數列。

數列的后一項與前一項的差恆為常數的數列稱為 等差數列。

設 數列 \(\{a_n\}\) 為等差數列，\(a_1\) 為首項，\(a_n\) 為通項，\(d\) 為公差，則有：

• \(a_1\)；

• \(a_2=a_1+d\)；

• \(a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d\)；

• ……

• \(a_n=a_1+(n-1)d\)。

等差數列：前 n 項和

令 \(S_n\) 為等差數列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 項和，則有：

\[\begin{aligned} 2S_n &=(a_1+a_2+\cdots+a_n)+(a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1) \\ &=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots +(a_n+a_1) \\ &=n(a_1+a_n) \end{aligned} \]

因此有：

\[S_n=\frac{n(a_1+a_{n})}{2}=a_1n+\frac{n(n-1)d}{2} \]

等比數列

等差數列：基礎

等比數列 又稱為 幾何數列。

數列的后一項與前一項（不為零）的比恆為常數的數列稱為 等比數列。

設 數列 \(\{a_n\}\) 為等差數列，\(a_1\) 為首項，\(a_n\) 為通項，\(q\) 為公比，則有：

• \(a_1\)；
• \(a_2=a_1q\)；
• \(a_3=a_2q=a_1q^2\)；
• ……
• \(a_n=a_{n-1}q=a_1q^{n-1}\)。

等差數列：前 n 項和

令 \(S_n\) 為等比數列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 項和，則有：

\[S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n= a_1(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}) \]

而 \(q\cdot S_n\) 有

\[q\cdot S_n = a_1(q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^n) \]

因此有：

\[S_n-q\cdot S_n = a_1(1-q^n) \]

即有：

\[S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_n\cdot q}{1-q} \]

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以上，即為中學階段所基礎到的數列理論。下面，我們來更深層次地討論數列理論。其中最重要的是數列的極限理論。

數列極限

定義 1 較為直觀地定義了數列，下面結合集合理論，給出更加嚴謹的數列定義。

定義 2（數列）：定義域為正整數集的函數

\[f:\mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{X}(\mathbb{X} \subset \mathbb{C}) \quad \text{或} \quad x_n = f(n),n=1,2,3,\cdots \]

為 數列。

在微積分或者數學分析中，我們只研究 實數列，通常所指的 數列 即為實數列。

定義 3（實數列）：定義域為正整數集的函數

\[f:\mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{或} \quad x_n = f(n),n=1,2,3,\cdots \]

為 實數列，簡稱 數列。

注 1：定義 2、3 與定義 1 有明顯的不同。初學者可能會糾結這樣一個問題：

按照定義 1，數列是一列數，或者說是按一定次序排列的數，而在定義 2、3 中，數列是一個函數，或者，數列是一個映射，兩者怎么等同呢？

這里我們不糾結於兩者概念形式上的不同，究其本質，他們是等價的。按照后者定義，數列可以理解為一種 整序變量，與函數中的 變量 本質上沒有什么不同。事實上，術語 數列 與 整序變量並不加以區分（詳細內容，請參考 菲赫金哥爾茨的微積分學教程 第一卷）。

注 2：思考數列與集合的區別，尤其是數集 與 數列 的區別。

• 數列是一列數，數集也可以是一列數，兩者有什么區別呢？
• 注意集合元素的無序性，數列中的各項數是有次序的。如
  • 集合 \(\{1,2,3,4\}\) 與 集合 \(\{4,3,2,1\}\) 是同一個集合，而數列 \(x_n:1,2,3,4\) 與數列 \(y_n:4,3,2,1\) 不是同一個集合。
• 注意集合元素的互異性，數列中的各項數是允許重復的。如
  • 集合 \(\{1,1,1,1\}\) 與集合 \(\{1\}\) 表示同一個集合，而數列 \({x_n}:1,1,1,\cdots,1,\cdots\) 則表示一個各項均為 \(1\) 的常數列。

數列極限：定義

定義 4（數列極限）：設 \(\{x_n\}\) 為一數列，\(a\) 為一實常數，若對於任意給定的 \(\epsilon>0\)，存在正整數 \(N\)，使得當 \(n>N\) 時，成立

\[|x_n-a|<\epsilon \text{，} \]

則稱數列 \(\{x_n\}\) 收斂（converge）於 \(a\)，\(a\) 稱為數列 \(\{x_n\}\) 的 極限（limit），記作

\[\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}x_n=a \quad \text{或}\quad x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty) \text{，} \]

讀作：“\(n\) 趨於無窮時，\(x_n\) 趨於 \(a\)”。

極限定義的理解：

1. 若數列 \(\{x_n\}\) 的極限為 \(a\)，則從某一項（第 \(N\) 項）開始，數值 \(x_n\) 與 \(a\) 相差任意小。

2. 注意 \(\epsilon\) 的任意性

   • 正數 \(\epsilon\) 必須是任意給定的，不能用一個很小的數進行代替。

   • “任意給定的 \(\epsilon>0\) “ 中的 ”\(\epsilon\) ” 雖然是任意給定的，但在描述極限時，應傾向於理解為 任意小 而非 任意大，意為：

     \[\text{無論} ~ \epsilon \text{取得有多小，只要}~ n ~ \text{取得足夠大，總能成立} ~ |x_n-a|<\epsilon. \]

   • 既然強調的是 \(\epsilon\) 的任意小，那么允許將定義中的 \(\forall \epsilon>0\) 更改為

   \[\forall \epsilon \in (0,1) \text{、} \forall \epsilon \in (0,\frac{1}{2})\text{……} \]

3. 注意 \(N\) 對 \(\epsilon\) 的依賴性

   • 在正數 \(\epsilon\) 給定之后，滿足條件 “\(\forall \epsilon>0,|x_n-a|<\epsilon\)” 的 \(N\) 對 \(\epsilon\) 的擇取有一定的 依賴性。
   • 注意：\(N\) 對 \(\epsilon\) 僅有一定的依賴關系，沒有 函數關系。
   • 常用 \(N(\epsilon)\)、\(N_{\epsilon}\) 等來代替 \(N\)，以凸顯這種依賴關系。
   • \(N\) 對 \(\epsilon\) 的依賴性具體表現為：
     • \(\epsilon\) 越小，滿足條件的 \(N\) 越大；\(\epsilon\) 越大，滿足條件的 \(N\) 越小。
     • 當 \(\epsilon\) 足夠大時，任意的正整數 \(N\) 均滿足條件，即數列中的所有項都有 \(|x_n-a|<\epsilon\)，此時對描述數列收斂與否沒有任何作用。

數列極限：斂散性

根據數列的收斂與否，可將數列分為 收斂數列 與 發散數列。

有極限的數列稱為 收斂數列，反之，稱為 發散數列。

下面給出幾個命題，以幫助理解數列的斂散性。

命題 1：數列 \(\{x_n\}\) 收斂於 \(a\)。

• 語言描述：即定義

  “對於任意給定的 \(\epsilon>0\)，存在正整數 \(N\)，使得當 \(n>N\) 時，成立 \(|x_n-a|<\epsilon\)”。

• \(\epsilon-N\) 符號表述：

  \[\forall \epsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon. \]

命題 2：數列 \(\{x_n\}\) 不收斂於 \(a\)。

• 語言描述：即定義的否定形式。根據量詞取反的 對偶法則 ，有

  "存在 \(\epsilon_0>0\) ，使得對於任意的正整數 \(N\)，存在 \(n>N\)，成立 \(|x_n-a|>\epsilon_0\)"。

• \(\epsilon-N\) 符號表述：

  \[\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. \]

命題 3：數列 \(\{x_n\}\) 收斂。

• 語言描述：由定義

  “存在一個實數 \(a\)，對於任意給定的 \(\epsilon>0\)，存在正整數 \(N\)，使得當 \(n>N\) 時，成立 \(|x_n-a|<\epsilon\)”。

• \(\epsilon-N\) 符號表述：

  \[\exists a\in \mathbb{R},\forall \epsilon >0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:|x_n-a|<\epsilon. \]

命題 4：數列 \(\{x_n\}\) 發散。

• 語言沒描述：命題 3 的否定形式。根據量詞取反的 對偶法則 ，有

  "存在 \(\epsilon_0>0\) ，使得對於任意的正整數 \(N\)，存在 \(n>N\)，成立 \(|x_n-a|>\epsilon_0\)"。

• \(\epsilon-N\) 符號表述：

  \[\forall a \in \mathbb{R},\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:|x_n-a|\ge \epsilon_0. \]

數列極限：幾何意義

角度 1：將數列 \(\{x_n\}\) 中的各項在數軸上描述，即有直觀的幾何解釋：

自某一項開始，數列 \(\{x_n\}\) 中的所有項均落在 以 \(a\) 點為中心、長度為 \(2\epsilon\) 線段內。

角度 2：既然數列是正整數集 \(\mathbb{N}_{+}\) 到實數集 \(\mathbb{R}\) 的函數，當然可以使用 圖像法對其進行描述。

可將數列表示為函數形式：

\[x=f(n),n \in \mathbb{N}_{+} \]

則圖像如下：

從圖像中可以看出，數列中從第 \(N+1\) 項開始的所有項都落在以 \(a\) 為中心，寬度為 \(2\epsilon\) 的”條帶“中。引入 鄰域 的概念來描述這種關系，即：

\[\forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},n>N:x_n \in U(a;\epsilon) \]

因此，數列也可以按照這種幾何性質進行定義。

定義 5（數列極限） ：設 \(\{x_n\}\) 為數列，\(a\) 為一個實常數，若對於任意給定的 \(\epsilon>0\)，在鄰域 \(U(a;\epsilon)\) 外至多存在數列中的 有限項，則稱數列 \(\{x_n\}\) 收斂於 \(a\)，\(a\) 即為數列 \(\{x_n\}\) 的 極限。

基於該定義，同樣可使用 \(\epsilon-N\) 語言描述數列的 斂散性。

（1）數列收斂：\(\exists a\in \mathbb{R},\forall \epsilon>0,\exists N \in \mathbb{N}_{+},\forall n>N:x_n \in U(a;\epsilon)\)。

（2）數列發散：\(\forall a\in \mathbb{R},\exists \epsilon_0>0,\forall N \in \mathbb{N}_{+},\exists n>N:x_n \notin U(a;\epsilon_0)\)。

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參考文獻

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