Task02 數列極限
數列極限
- 定義
不存在這樣的數a 分兩種情況：
1. a為\(\infty\)
2. 數列沒有一個趨於某個極限a的形式（振盪）
- 定理：如果數列\(\{a_n\}\)收斂，則其任何子列\(\{a_{n_{k}}\}\)也是收斂的，且\(\lim_{k \to \infty}a_{n_k} = \lim_{k \to \infty}a_{n}\)。
主要用來反證一個數列不收斂，若存在一個子列不收斂，則其主列一定不收斂 。（子列：從原數列取出若干個元素，並按原順序組成的新數列）
性質
- 唯一性：如果數列存在極限，則極限是唯一的。
- 有界性：如果數列極限存在，則數列是有界的，不同於函數極限的局部有界性。
- 保號性：設數列存在極限\(a\)，且\(a > 0\)（ 或\(a < 0\)） ,則存在正整數\(N\)，當\(n > N\)時，有\(a>0\)。
運算規則
設\(\lim_{n \to \infty}x_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty}=b\)，則
- \(\lim_{n \to \infty}(x_n \pm y_n)=a \pm b.\) 數列和差的極限等於和差的極限。
- \(\lim_{n \to \infty} x_ny_n = ab.\) 數列乘積的極限等於極限的乘積。
- 若\(b \ne 0,y_n\ne0\)，則\(\lim _{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b}.\) 數列相除的極限等於極限相除。
夾逼准則
如果數列 \(\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}\)及 \(\left\{z_{n}\right\}\)滿足下列條件
\(\text{(1)}y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n}(n=1,2,3, \cdots);\)
\(\text{(2)}\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=a \text {. }\)
則數列\(\left\{x_{n}\right\}\) 的極限存在, 且\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a\).
單調有界准則
單調有界數列必有極限，即若數列\(\{x_n\}\)單調增加（減少）且有上界（下界），則\(\lim_{n \to \infty} x_n\)存在.