數列的上、下極限(待續)

目錄

• 1. 上、下確界的若干結論
  • 1.1 與集合的上、下確界有關的結論
  • 1.2 與函數的上、下確界有關的結論
• 2. 上、下極限的定義

1. 上、下確界的若干結論

1.1 與集合的上、下確界有關的結論

命題1. 設\(A\), \(B\)為非空有界數集, \(S=A\cup B\), 則
(i) \(\sup S=\max\{\sup A, \sup B\}\);
(ii) \(\inf S=\min\{\inf A,\inf B\}\).

從上述命題出發可得以下推論.

推論1. 設\(A\), \(B\)為非空有界數集, 並且\(A\subset B\), 則

$$\inf B\leq \inf A\leq \sup A\leq \sup B.$$

命題2. 設\(S\)為非空有界數集, 定義\(S^{-}=\{x\ |\ -x\in S\}\), 則

\[\inf S^{-}=-\sup S,\quad \sup S^{-}=-\inf S. \]

命題3. 設\(A\), \(B\)為非空有界數集, 定義集合

$$A+B=\{z\ |\ z=x+y,\,x\in A,\,y\in B \},$$
則
$$\sup (A+B)=\sup A+\sup B,\quad \inf(A+B)=\inf A+\inf B.$$ 

命題4. 設\(S\)為非空有下界(不一定有上界)的數集, 並且\(\inf S>0\), 則集合

\[S^{-1}=\left\{x^{-1}\ |\ x\in S \right\} \]

有界並且

\[\sup S^{-1}>0,\quad\inf S^{-1}\geq 0,\quad \sup S^{-1}=\frac{1}{\inf S}. \]

1.2 與函數的上、下確界有關的結論

命題5. 設\(f,g\)為\(D\)上的有界函數, 則
(i) \(\inf\limits_{x\in D}f(x)+\inf\limits_{x\in D} g(x)\leq \inf\limits_{x\in D}\{f(x)+g(x) \}\leq \inf\limits_{x\in D}f(x)+\sup\limits_{x\in D}g(x)\);
(ii) \(\sup\limits_{x\in D}f(x)+\inf\limits_{x\in D}g(x)\leq \sup\limits_{x\in D}\{f(x)+g(x)\}\leq \sup\limits_{x\in D}f(x)+\sup\limits_{x\in D}g(x)\).

注意命題5和命題3的區別. 集合

\[f(D)+g(D)=\{f(x)+g(y)\ |\ x,y\in D\} \]

與

\[(f+g)(D)=\{f(x)+g(x)\ |\ x\in D\} \]

不一定相等.

命題6. 設\(f,g\)為\(D\)上的有界函數, 並且

$$f(x)\leq g(x),\quad x\in D,$$
則
$$\inf_{x\in D}f(x)\leq \inf_{x\in D}g(x),\quad  \sup_{x\in D}f(x)\leq \sup_{x\in D} g(x).$$

請注意命題6和推論1的區別.

命題6. 設\(f,g\)為\(D\)上的非負有界函數, 則
(i) \(\inf\limits_{x\in D} f(x)\cdot \inf\limits_{x\in D}g(x)\leq \inf\limits_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\);
(ii) \(\sup\limits_{x\in D}\{f(x)g(x)\}\leq \sup\limits_{x\in D}f(x)\cdot \sup\limits_{x\in D}g(x)\).

2. 上、下極限的定義

定義1. 設\(\{a_n\}\)是有界數列, 令

\[\overline{a_n}=\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\},\quad\underline{a_n}=\inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\}. \]

則\(\{\overline{a_n}\}\)和\(\{\underline{a_n}\}\)均收斂. 記

\[\overline{a}=\lim_{n\to \infty }\overline{a_n},\quad \underline{a}=\lim_{n\to \infty}\underline{a_n}, \]

稱\(\overline{a}\)為數列\(\{a_n\}\)的上極限, \(\underline{a}\)為數列\(\{a_n\}\)的下極限, 分別記為\(\varlimsup\limits_{n\to \infty}a_n\)和
\(\varliminf\limits_{n\to \infty}a_n\).

下面驗證上述定義的合理性.

根據\(\{a_n\}\)的有界性, \(\overline{a_n}\)和\(\underline{a_n}\)都是確定的實數. 由於

\[\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\}\supset \{a_{n+1},a_{n+2},\cdots\}, \]

根據推論1並利用數學歸納法可知, 對任意\(m,n\in \Bbb{N}_+\)且\(m\geq n\), 有

\[\overline{a_1}\geq \overline{a_2}\geq \cdots \geq \overline{a_m}\geq \cdots\geq \overline{a_n}\geq \cdots \underline{a_n} \geq\cdots\geq \underline{a_m} \geq \cdots\geq \underline{a_2}\geq \underline{a_1}. \]

所以\(\{\overline{a_n}\}\)是單調遞減有下界的數列, \(\{\underline{a_n}\}\)是單調遞增有上界的數列, 根據單調有界定理, \(\{\overline{a_n}\}\)和\(\{\underline{a_n}\}\)均收斂, 存在\(\overline{a},\underline{a}\in \Bbb{R}\)使得

\[\overline{a}=\lim_{n\to \infty }\overline{a_n},\quad \underline{a}=\lim_{n\to \infty}\underline{a_n}. \]

因此定義1是合理的.

根據致密性定理, 有界數列\(\{a_n\}\)必有收斂子列. 然而, 一個數列有收斂子列, 並不能保證該數列自身收斂. 利用上、下極限的概念, 我們可以給出有界數列收斂的一個充要條件.

定理1. (有界數列收斂的充要條件) 設\(\{a_n\}\)是有界數列, 則\(\{a_n\}\)收斂當且僅當

$$\varlimsup\limits_{n\to \infty}a_n= \varliminf\limits_{n\to \infty}a_n,$$

此時\(\{a_n\}\)的極限等於上、下極限.

證明: 為了方便, 記\(\overline{a}=\varlimsup\limits_{n\to \infty}a_n\), \(\underline{a}=\varliminf\limits_{n\to \infty}a_n.\) 由於

\[\overline{a_n}\geq \underline{a_n},\quad \forall n\in \Bbb{N}_+, \]

利用數列極限的保不等式性可得

\[\overline{a}=\varlimsup\limits_{n\to \infty}a_n\geq \varliminf\limits_{n\to \infty}a_n=\underline{a}. \]

(充分性) 設\(\overline{a}=\underline{a}\), 下證\(\{a_n\}\)收斂, 並且\(\{a_n\}\)的極限等於上、下極限.

由於

\[\overline{a}=\lim_{n\to \infty }\overline{a_n},\quad \underline{a}=\lim_{n\to \infty}\underline{a_n}, \]

則對任意\(\varepsilon>0\), 存在正整數\(N\), 使得對任意\(n>N\), 有

\[|\overline{a_n}-\overline{a}|<\varepsilon,\quad |\underline{a_n}-\underline{a}|<\varepsilon, \]

從而

\[\underline{a}-\varepsilon<\underline{a_n}\leq a_n\leq \overline{a_n}<\overline{a}+\varepsilon. \]

由於\(\overline{a}=\underline{a}\), 由上式可知

\[|a_n-\overline{a}|<\varepsilon,\quad \forall n>N, \]

從而\(\{a_n\}\)收斂並且

\[\lim_{n\to \infty}a_n=\overline{a}=\underline{a}. \]

(必要性) 設\(\{a_n\}\)收斂於\(a\), 下證\(\overline{a}=\underline{a}=a\).

對任意\(\varepsilon>0\), 存在正整數\(N\), 使得對任意\(n\geq N\), 有

\[|a_n-a|<\varepsilon, \]

即

\[a-\varepsilon <a_n< a+\varepsilon, \quad \forall n\geq N. \]

所以\(a+\varepsilon\)是集合\(\{a_{N},a_{N+1},a_{N+2},\cdots\}\)的一個上界, \(a-\varepsilon\)是集合\(\{a_{N},a_{N+1},a_{N+2},\cdots\}\)的一個下界, 從而

\[a-\varepsilon < \underline{a_N}\leq \underline{a_n}\leq a_n\leq\overline{a_n}\leq\overline{a_N} < a+\varepsilon,\quad \forall n\geq N. \]

在上式中令\(n\to \infty\), 根據數列極限的保不等式性可得

\[a-\varepsilon\leq \underline{a}\leq a\leq \overline{a}\leq a+\varepsilon. \]

由\(\varepsilon>0\)的任意性可知

\[\overline{a}=\underline{a}=a. \]

\(\Box\)

（未完待續）