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已知遞推式\(a_{n+1}=f(a_n)\)求解數列極限
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在草稿紙上
先斬后奏：假設極限存在，然后嘗試解出極限值為\(A\)； -
畫出\(f(x)\)和\(x\)的大致圖像(
初等函數都得會畫)，找到交點的大致范圍\((C_1，C_2)\)；在理論上初等函數的圖像是都可以通過研究導數性質繪制出來的，但是如果函數較為復雜的時候，這種方法的
性價比就很低了，特別是面對有除式時。比較經典的引導如：\[\begin{aligned} 指數函數引導中值定理：f(x)-1，如e^x-1=e^x-e^0=e^\xi\cdot(x-0)； \\ 對數函數引導終止定理：f(x)-0，如\ln x-0=\ln x-\ln1=\frac{1}{\xi}\cdot(x-1)；\\\\ 對數中通分：\ln(\frac{f(x)}{\alpha(x)}\pm \frac{g(x)}{\beta(x)})=\ln(\frac{f(x)\beta(x)\pm g(x)\alpha(x)}{\alpha(x)\beta(x)})=\ln{分子}-\ln{分母}； \end{aligned} \]當然如果題目中突然給出我們一個點\(x_0\)的函數值為\(f(x_0)\)，然后表達式中有\(x-x_0\)的時候，這個時候不用中值定理未免也太辜負命題老師的良苦用心了。
所以我們面對有除式的復雜函數時，首先想想
中值定理，它能夠將除式消除，構造出一個等式：\(g(a_{n+1})=h(\xi_n)\)，然后通過\(\xi_n\)的范圍確定數列的界和單調性。最特殊的情況就是\(g=h\)且單調，這個時候\(a_{n+1}=\xi_n\)。然后我們就能夠依據單調有界准則判斷極限存在，再代入計算即可。 -
用
零點定理證明：在區域\((C_1，C_2)\)內\(F(x)=f(x)-x=0\)有唯一實根\(x=A\)； -
用
數學歸納法證明：\(x_n\in(C_1，C_2)\)，這樣數列\(\{x_n\}\)就有界了； -
方程\(x=f(x)\)有解析解(可以得出實數\(A\)確切的值)
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求迭代函數\(f(x)\)的單調性
- 如果單調增，說明數列\(\{x_n\}\)是單調數列，增或減看前兩項關系；
- 如果單調減，說明數列\(\{x_n\}\)沒有單調性，轉(6)改用
定義法證明；
關於構造
迭代函數與數列極限的關系的補充說明： -
這時\(\{x_n\}\)
單調有界，則極限必存在，將草稿紙上的步驟搬下來；
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方程\(x=f(x)\)無解析解(以我們現有能力解不出)
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用
拉式中值定理：\(|x_{n+1}-A|=|f(x_n)-f(A)|=|f^{(1)}(\xi_n)|\cdot|x_n-A|\)； -
證明\(\forall \xi\in(C_1，C_2)，|f^{(1)}(\xi)|\le k\lt1\)；
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\(0\le|x_{n+1}-A|=\prod_{i=1}^{n}|f^{(1)}(\xi_i)|\cdot|x_1-A|\le k^n|x_1-A|\)；
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用
夾逼定理得：\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}|x_{n+1}-A|=0\)，所以\(\{x_n\}\)的極限就是\(F(x)=0\)的根；
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已知遞推式\(a_{n+1}=f(a_n)\)求解數列函數\(\Gamma\large(\normalsize{\{\gamma_i;\}_n}\large)=\Gamma_n\)的極限
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\(g、h、\gamma\)映射代表着什么？
在\(\Gamma\)中每一項元素是\(g(a_i)\)，需要用
遞推式的恆等變形推出：\(g(a_n)=\gamma\large(\normalsize{h(a_n)，h(a_{n+1})}\large)=\gamma_n\)。\(\gamma\)表示了一個能
將aₙ和aₙ₊₁分開，讓其獨立平等且擁有相同的h映射的映射。最經典的莫過於裂項相消和累乘法，前者是構造的減法，而后者則是構造出除法。 -
\(\Gamma\)映射代表着什么？
而\(\Gamma\)則代表將所有的\(\gamma\)用一種映射關聯起來，這種映射作用於前一項\(\gamma_{n-1}\)的后一項\(h(a_n)\)上(帶有\(\gamma\)映射的運算符)，所以一般是與\(\gamma\)
相反的映射。比如當\(\Gamma\)映射是“加法”時，\(\gamma\)映射就是“減法”；當\(\Gamma\)映射是“乘法”時，\(\gamma\)映射就是“除法”；當\(\Gamma\)映射是“指數”時，\(\gamma\)映射就是“對數”；……； -
等式恆等變形？
太復雜了我真不知道怎么說，只能靠\(\Gamma\)來推測出\(\gamma\)，而且只能靠經驗試驗出\(h\)。
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如果推不出\(\gamma\)映射咋辦？
上面只是假設推得出，真要是推不出那就說明中間項是抵消不掉的，形式上就和
無窮多無窮小量相加一致了，這時我們可以用遞推式推出通項，然后用夾逼准則。但是我很少在考研中遇到這種有遞推式但是不用恆等變形，反而考察高中數學通遞轉換的題😅。
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已知遞推式\(a_{n+1}=F(a_n)=\int{f(x，a_n)dx}\)求解數列極限
其實這種題只是(1)的一種特殊形式罷了，單純地想要致敬張宇老師。我們完全可以畫出\(F(a_n)\)的圖像，只不過這個圖像並不是一個初等函數，而是一個
分段函數，但是我們同樣可以通過初始值確定出極限處於哪一段上面，並且確定每一段的解\(A\)和變量\(x\)的范圍，然后用數歸去證明它，再研究那一分段的單調性，之后要么用單調有界，要么用定義法，求出極限的值。
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已知\(a_{n+1}=f(\{a_i;\}_n)\)求解數列極限
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向前移步再相減得出遞推式：\(a_{n+1}=a_n+g(a_n)\)；
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然后研究函數\(f(x)=x+g(x)\)的性質，並轉到(1)求解；
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已知通項式\(a_n=A(n)\)
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如果是求\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}a_n=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}A(n)=A\)
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若通項簡單
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畫出函數圖像，觀察能否判斷出極限的值\(A\)；
- 如果
判斷不出則嘗試化為遞推式； - 如果判斷得出則繼續向下進行；
- 如果
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用
放縮法證明：\(|x_{n+1}-A|\le k^n\cdot|x_1-A|\)，其中\(0\le k\le C\lt1\)； -
用
夾逼定理得：\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}|x_{n+1}-A|=0\)，所以\(\{x_n\}\)的極限就是\(A\)；
【注】這種類型的題一般是不會出的，因為很簡單沒有技術含量。但是如果出，那很有可能就出在
如何化為遞推式上，這一點是逆向思維不容易想到，除非有很強的等式恆等變形的素養。 -
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若通項復雜
可以選擇使用
海涅定理(歸結原則)：如果\(\underset{x\rightarrow x_0}{\lim}f(x)=A\)，那么對於任意以\(x_0\)為極限的數列\(x_n\)都滿足如下等式\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}f(x_n)=A\)。所以我們會先將\(n\)連續化為\(x\)，然后求函數極限。
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如果是求和\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}G\Large{(}\normalsize{\sum{g(a_i)}}\Large{)}\)
夾逼准則。-
無窮項相加
\[n\cdot \min(\{g(a_n)\})\le \sum_{i=1}^{n}g(a_i)\le n\cdot\max(\{g(a_n)\})； \] -
有限項相加
\[1\cdot \max(\{g(a_n)\})\le \sum_{i=1}^{n}g(a_i)\le n\cdot\max(\{g(a_n)\})； \]
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方程列綜合
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已知區間\((C_1，C_2)\)，用
介值或零點定理得出滿足\(f_n(x_n)=C\)的\(\{x_n\}\)； -
利用方程嘗試解出\(x_n\)，然后求其極限；
- 如果可以求出，則往下使用
單調有界； - 如果不能求出，則使用
夾逼定理；
- 如果可以求出，則往下使用
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這時的數列\(\{x_n\}\)已經滿足了有界性，所以此時我們可以研究單調性；
- 如果單調性容易求出，即\(x_{n+1}-x_n\)容易得到表達式且可以判斷出正負性，則可以繼續使用
單調有界收斂准則，然后將(2)中極限求解步驟照抄； - 如果不能得出單調性，則使用
夾逼定理；
- 如果單調性容易求出，即\(x_{n+1}-x_n\)容易得到表達式且可以判斷出正負性，則可以繼續使用
【注】這種問題其實有個明顯的特點：\(\{x_n\}\)天然有界。而且選擇什么樣的方法解決題目中都有暗示，如果命題老師想要我們用
夾逼定理，則一般會多出來一問：構造出另一邊的數列\(\{u_n\}\)，讓我們求出倆數列的大小關系以及數列uₙ的極限值。而求\(\{u_n\}\)和\(\{x_n\}\)的大小關系，一般會先求出\(f_n(u_n)\)的值並與\(f_n(x_n)=C\)比較大小，然后再利用\(f_n(x)\)的單調性證明倆數列的大小關系。 -
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區間列綜合
區間列就是\(x=h(x)\)在\((\gamma_1(n)，\gamma_2(n))\)區間中的解組成的一個數列\(\{x_n\}\)。所以如果想要等式有無窮多個解，有兩種方法：一是在無窮遠處有無窮多解，二是在某個區間里有無窮多解。
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\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=\infty\)（無窮遠處有無窮多解）
極限存在，但不是完全存在，如\(x=\tan x\)。主要研究\(\infty-\infty\)型和\(\frac{\infty}{\infty}\)型，也就是研究在\(n\)充分大的時候，這個數列是否會趨向
等差數列或者是等比數列。 -
\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n震盪不存在\)（某個區間里有無窮多解）
極限不存在，但是肯定是有界的，如\(x=\sin \frac{1}{x}\)。不知道現在
考研數學考不考察，極限計算中的有界震盪函數一般是乘上無窮小然后忽略掉。
區間列綜合問題一般需要掌握\(h(x)\)的恆
等變形公式，以便於化簡計算。 -
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