數學分析——數列極限：數列的上下極限

數列極限：數列的上、下極限

本節總結一下數列極限的概念。

數列的上、下極限：概念

定義方法一

注：該定義方法源於^[1]。

由 Bolzano-Weierstrass 定理 ：有界數列必有收斂子列。

這就提示我們：對於不存在極限的有界數列，可以通過研究其子列來刻畫其本身的情況。

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定義 1（有界數列的極限點）：設 \(\{x_n\}\) 為一有界數列，若存在它的一個子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}{x_{n_k}}=\xi \text{，} \]

則稱 \(\xi\) 為數列 \(\{x_n\}\) 的一個 極限點。

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現在，設 \(\{x_n\}\) 為一有界數列，\(E\) 為數列 \(\{x_n\}\) 的所有極限點匯成的集合，即

\[E=\{\xi\ \mid \xi \text{為數列} \{x_n\} \text{極限點}\} \text{，} \]

則 \(E\) 非空有界。下面進行分析：

• 首先，\(\{x_n\}\) 是非空有界集合，由 Bolzano-Weierstrass 定理 知，\(\{x_n\}\) 必有收斂子列，因此，有界數列 \(\{x_n\}\) 必有極限點，因此，\(E\) 非空。

• 其次，由於 \(\{x_n\}\) 是有界集合，由數列有界的定義，\(\exists m,M \in \mathbb{R},s.t. \forall n \in \mathbb{N}_{+}:m \le x_n \le M\)。

  設 \(\{x_{n_k}\}\) 是有界數列 \(\{x_n\}\) 的任意一個收斂子列，並且 \(\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=\xi\)。則由數列極限的定義，\(\forall \epsilon>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t.\forall k > K:|x_{n_k}-\xi|<\epsilon\)，即：\(\xi-\epsilon<x_{n_k}<\xi+\epsilon\)。

  因此，有這樣兩個不等式成立：

  • \(m \le x_{n_k}<\xi+\epsilon\)
  • \(\xi-\epsilon<x_{n_k} \le M\)

  由 \(\epsilon\) 的任意性，有：\(m \le \xi \le M\)。又因為 \(\xi\) 是 \(\{x_n\}\) 中的任意一個極限點，因此 \(\forall \xi \in E,m \le \xi \le M\)，因此 \(E\) 有界。

• 綜上，\(E\) 非空有界。再由確界存在定理，集合 \(E\) 有上、下確界。

下面的定理，將告訴我們，由有界數列的全體極限點匯成的集合的上、下確界屬於該集合。

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定理 1：設 \(\{x_n\}\) 為一有界數列，\(E\) 為由 \(\{x_n\}\) 中所有極限點匯成的集合，則 \(E\) 的上確界 \(H\) 以及下確界 \(h\) 均屬於 \(E\)。即

\[H=\max E,h=\min E \text{。} \]

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證明：

首先，先證明 \(H = \max E\)。

\(H\) 是 \(E\) 的上確界，即 \(H =\sup E\)，由上確界的定義，有：（1）\(\forall \xi \in E,\xi \le H\)；（2）\(\forall \epsilon >0,\exists \xi>H -\epsilon\)。

因此，對於任意給定的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\xi\) ，成立：

\[H-\epsilon<\xi \le H < H+\epsilon \text{。} \]

現在，令 \(\epsilon_{k}=\frac{1}{k}(k=1,2,\cdots)\)，

取 \(\epsilon_1=1\)，存在 \(\xi_1 \in E\)，使得 \(H-1<\xi_1<H+1\)；

取 \(\epsilon_2=\frac{1}{2}\)，存在 \(\xi_2 \in E\)，使得 \(H-\frac{1}{2}<\xi_2<H+\frac{1}{2}\)；

……

一般地，取 \(\epsilon_k=\frac{1}{k}\)，存在 \(\xi_k \in E\)，使得 \(H-\frac{1}{k}<\xi_k<H+\frac{1}{k}\)；

不斷地做下去，便得到了一個數列 \(\{\xi_k\}\)，且有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+},|\xi_k-H|<\frac{1}{k} \text{，} \]

即：

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}\xi_k=H \text{。} \]

由於 \(\xi_k(k=1,2,\cdot)\) 是數列 \(\{x_n\}\) 的極限點，同樣地，可令 \(\delta=\frac{1}{k}(k=1,2,\cdots)\)，

取 \(\delta_1=1\)，\(\xi_1\) 是數列 \(\{x_n\}\) 的極限點，因此在 \(U(\xi_1,\delta_1)\) 內存在 \(\{x_n\}\) 中的無窮多項，取 \(x_{n_1} \in U(\xi_1,\delta_1)\)；

取 \(\delta_2=\frac{1}{2}\)，\(\xi_2\) 是數列 \(\{x_n\}\) 的極限點，因此在 \(U(\xi_2,\delta_2)\) 內存在 \(\{x_n\}\) 中的無窮多項，取 \(x_{n_2} \in U(\xi_2,\delta_2)\)，並且 \(n_2>n_1\)；

……

一般的，取 \(\delta_k=\frac{1}{k}\)，\(\xi_k\) 是數列 \(\{x_n\}\) 的極限點，因此在 \(U(\xi_k,\delta_k)\) 內存在 \(\{x_n\}\) 中的無窮多項，取 \(x_{n_k} \in U(\xi_k,\delta_k)\)，並且 \(n_k>n_{k-1}\)；

不斷地做下去，便得到了數列 \(\{x_n\}\) 的一個子列 \(\{x_{n_k}\}\)，且有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+}，|x_{n_k}-\xi_k|<\frac{1}{k} \text{，} \]

由三角不等式，即有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+},|x_{n_k}-H| - |\xi_k-H| \le |x_{n_k}-H-\xi_{k}+H|=|x_{n_k}-\xi_k| <\frac{1}{k} \text{，} \]

由 \(\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}\xi_k=H\)，移項后即有：

\[\forall k \in \mathbb{N}_{+},|x_{n_k}-H|<\frac{2}{k} \text{，} \]

因此，

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=H \text{。} \]

所以，\(H\) 是數列 \(\{x_n\}\) 的一個極限點，即 \(H \in E\)，又由於 \(\forall \xi \in E,\xi \le H\)，\(H\) 是 \(\{x_n\}\) 的最大極限點，即

\[H = \max E \text{。} \]

同理，\(h = \min E\) 。

證畢

現在，可以給出有界數列上、下極限的定義。

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定義 2（有界數列的上、下極限）：設 \(\{x_n\}\) 是有界數列，\(E\) 是由 \(\{x_n\}\) 的所有極限點匯成的集合，則稱：

• \(E\) 中的最大值 \(H=\max E\) 為有界數列 \(\{x_n\}\) 的上極限，記作： \(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=H\)；
• \(E\) 中的最小值 \(h=\min E\) 為有界數列 \(\{x_n\}\) 的下極限，記作：\(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n=h\)。

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現在，由有界數列的上、下極限的定義，很容易得出以下結論。

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定理 2：設 \(\{x_n\}\) 為一有界數列，則 \(\{x_n\}\) 收斂的充分必要條件為：\(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n\)。

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證明：

• 首先證明必要性。設 \(\{x_n\}\) 收斂，則 \(\{x_n\}\) 的任一子列與其收斂於同一極限。因此由 \(\{x_n\}\) 的所有極限點匯成的集合 \(E\) 僅有一個元素，即 \(\{x_n\}\) 的極限。因此有：

  \[\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n \text{，} \]

• 然后證明充分性。兩種思路，分析，或，反證。

  • 設有界數列 \(\{x_n\}\) 的上、下極限分別為：\(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=H\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n=h\)。\(E\) 為由 \(\{x_n\}\) 的所有極限點匯成的集合，由有界數列上、下極限的定義，有：\(\forall \xi \in E,h \le \xi \le H\)。若 \(h=H\)，則顯然，\(E\) 中僅有 \(\xi=H=h\)。由於數列 \(\{x_n\}\) 也是本身的子列，因此有：

    \[\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\xi=H=h\text{。} \]

    即，有界數列 \(\{x_n\}\) 收斂。

  • 反證法。設有界數列 \(\{x_n\}\) 的上、下極限分別為：\(\underset{n\,\,\rightarrow \infty}{\overline{\lim }}x_n=H\)，\(\underset{n \rightarrow \infty}{\underline{\lim }}x_n=h,H=h\)。若 \(\{x_n\}\) 發散，則至少存在兩個收斂於不同極限的子列，這與 \(H=h\) 矛盾，因此 \(\{x_n\}\) 收斂。

證畢

前面給出了有界數列的上、下極限的概念。

但是，在實際應用中，我們碰到的數列不一定會是有界數列，能不能將上、下極限的概念推廣到一般情形呢？

首先，我們要從極限點出發。

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定義 3（數列的極限點）：設 \(\{x_n\}\) 為一數列，若存在它的一個子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得

\[\underset{k \rightarrow \infty}{\lim}x_{n_k}=\xi \quad(-\infty \le \xi \le +\infty) \text{，} \]

則稱 \(\xi\) 為 \(\{x_n\}\) 的一個極限點。

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分析：

• \(\xi\) 為有限數的情況，不多說，現在重點分析 \(\xi=\pm \infty\) 的情形，這些情況下，將 \(+\infty\)，\(-\infty\) 視為極限點。
  • 若 \(\xi=+\infty\)，則子列 \(\{x_{n_k}\}\) 是正無窮大量，可以等價的描述為：“\(\forall G>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t. \forall k>K:x_{n_k}>G\)”；
  • 若 \(\xi=-\infty\)，則子列 \(\{x_{n_k}\}\) 是負無窮大量，可以等價的描述為：“\(\forall G>0,\exists K \in \mathbb{N}_{+},s.t. \forall k>K:x_{n_k}<-G\)”；
• 設 \(\{x_n\}\) 為一數列，則 \(\{x_n\}\) 要么有界，要么無界。
  • 有界的情況，前文已經分析，現在看無界的情況。
  • 數列無界包含三種情況：
    • 數列 \(\{x_n\}\) 有下界，而無上界，例如 \(\{n\}\)。這種情況下，\(\{x_n\}\)本身即為正無窮大量。因此，\(\{x_n\}\) 必有同為正無窮大的子列存在。此時 \(\xi=+\infty\)

定義方法二

兩種定義方法的聯系

數列的上、下極限：運算

有關加法的運算

有關乘法的運算

附錄

• \(\infty,-\infty,+\infty\) 分別讀作 "無窮"，“正無窮”，“負無窮”（有時，將 \(+\infty\) 寫作 \(\infty\)）。

  \(+\infty\)、\(-\infty\) 被稱為“廣義實數”，但實際上它們並不是數，不屬於實數集，但為了方便，將其與實數集一起構成“超實數集”。

  • 規定有：\(- \infty< +\infty,\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}: - \infty<\alpha <+\infty\)。
  • 類似於數的運算，可以對其規定一些運算：
    • 廣義實數的加法與減法：
      • 若 \(\alpha \in \mathbb{R}\)，則規定：
        • \(\alpha + (+\infty)=(+\infty)+\alpha=+\infty\)，\(\alpha+(-\infty)=(-\infty)+\alpha=-\infty\)；
        • \(\alpha- (+\infty)=-\infty\)，\(\alpha - (- \infty)=+\infty\)；
        • \((+\infty)+(+\infty)=+\infty\)，\((-\infty)+(-\infty)=-\infty\)；
    • 廣義實數的乘法與除法：
      • 若 \(\alpha \in \mathbb{R}\)，則規定：
        • \(\alpha \cdot (+\infty)=(+\infty) \cdot \alpha= (+\infty)\)，若 \(\alpha>0\)；
        • \(\alpha \cdot (+\infty)=(+\infty) \cdot \alpha= (-\infty)\)，若 \(\alpha<0\)；
        • \(\alpha \cdot (+\infty)=(+\infty) \cdot \alpha= 0\)，若 \(\alpha=0\)；
        • \(\alpha \cdot (-\infty)=(-\infty) \cdot \alpha= (-\infty)\)，若 \(\alpha>0\)；
        • \(\alpha \cdot (-\infty)=(-\infty) \cdot \alpha= (+\infty)\)，若 \(\alpha<0\)；
        • \(\alpha \cdot (-\infty)=(-\infty) \cdot \alpha=0\)，若 \(\alpha=0\)；
      • \(\frac{1}{\pm \infty}=0\)，\(\frac{\pm \infty}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}\cdot (\pm \infty)\quad( \alpha \ne 0)\)。

參考文獻

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1. 陳紀修，於崇華，金路. 數學分析 上冊. 第2版. 北京：高等教育出版社. 2004. ↩︎