參考解答見: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html
1.1.1 求復合函數表達式: (1) 已知 $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, 設 $f_n(x)=f\sed{f\sez{\cdots (f(x))\cdots}}$ ($n$ 個 $f$). 求 $f_n(x)$. (南京郵電大學等) (2) 設 $f(x)=\frac{x}{x-1}$, 試證明 $f\sez{f(x)}=x$, 並求 $f\sez{\frac{1}{f(x)}}$.
1.1.2 是否存在這樣的函數, 它在區間 $[0,1]$ 上每點取有限值, 在此區間的任何點的任意鄰域內無界. (上海師范大學)
1.1.3 試說明能有無窮多個函數, 其中每個函數 $f$, 皆使得 $f\circ f$ 為 $\bbR$ 上的恆等函數.
1.1.4 設 $f$ 為 $\bbR$ 上的奇函數, $f(1)=a$, $f(x+2)-f(x)=f(2)$, $\forall\ x\in\bbR$. (1) 試用 $a$ 表達 $f(2)$ 和 $f(5)$; (2) $a$ 為何值時, $f(x)$ 是以 $2$ 為周期的周期函數. (清華大學)
1.1.5 設 $f(x)=x-[x]$ (即 $x$ 的小數部分), $g(x)=\tan x$, 說明這時 $f(x)-g(x)$ 為何不是周期函數. 類似地 $f(x)+g(x)$ 也如此. 從而周期函數的和與差未必是周期函數.
1.1.6 (雙鏡效應) 設 $f$ 是 $\bbR$ 上的實函數, $f$ 的圖像以直線 $x=b$ 和 $x=c\ (b\neq c)$ 分別作為其對稱軸. 試證 $f$ 必為周期函數, 且周期為 $2|b-c|$.
1.1.7 設 $f$ 是 $\bbR$ 上的奇函數, 並且以直線 $x=a\ (a\neq 0)$ 作為對稱軸, 試證 $f$ 必為周期函數並求其周期.
1.1.8 設 $f(x)$ 是 $\bbR$ 上以 $T$ 為周期的周期函數 ($T>0)$, 且 $f$ 在 $[0,T]$ 上嚴格單調, 試證 $f(x^2)$ 不可能是周期函數.
1.1.9 證明確界的關系式: (1) 敘述數集 $A$ 的上確界定義, 並證明: 對於任意有界數列 $\sed{x_n}$, $\sed{y_n}$, 總有 $$\bex \sup\sed{x_n+y_n}\leq \sup\sed{x_n}+\sup\sed{y_n};\qwz{北京科技大學} \eex$$ (2) 設 $A,B$ 是兩個由非負數組成的任何數集, 試證 $$\bex \sup_{x\in A}x\cdot \sup_{y\in B}y=\sup_{x\in A\atop y\in B}xy. \eex$$
1.1.10 試證: 若 $x_n\to+\infty\ (n\to\infty)$, 則 $\sed{x_n}$ 必達到下確界 (即存在 $m\in \bbN$, 使得 $x_m=\inf \sed{x_n}$). (武漢大學)
1.1.11 設 $f,g$ 是 $\bbR$ 上的實函數, 且 $$\bex f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y),\quad \forall\ x,y\in\bbR. \eex$$ 在 $\bbR$ 上 $f(x)$ 不恆等於零, 但有界. 試證: $|g(y)|\leq 1\ (\forall\ y\in\bbR)$.
1.1.12 設 $f$ 是閉區間 $[a,b]$ 上的增函數 (指 $\forall\ x_1<x_2: a\leq x_1<x_2\leq b$, 有 $f(x_1)\leq f(x_2)$) (但不一定連續), 如果 $f(a)\geq a$, $f(b)\leq b$, 試證: $$\bex \exists\ x_0\in [a,b],\st f(x_0)=x_0.\qwz{山東大學} \eex$$
1.1.13 設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 試證: $\exists\ x_0\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建師范大學)
1.2.1 (1). 已知 $\dps{\vlm{n}x_n=a}$, 求證: $\dps{\vlm{n}\sqrt[3]{x_n}=\sqrt[3]{a};}$ (武漢大學, 哈爾濱工業大大學) (2). 用 $\ve-\delta$ 語言證明 $\dps{\lim_{x\to 1}\frac{1}{x}=1}$. (清華大學)
1.2.2 用 $\ve-N$ 方法證明: 1) $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{n}=1}$; 2) $\dps{\vlm{n} n^3q^n=0}$ ($|q|<1$); 3) $\dps{\vlm{n}\frac{\ln n}{n^2}=0}$.
1.2.3 設 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 試用 $\ve-N$ 方法證明: 若 $$\bex x_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}{1+2+\cdots+n}, \eex$$ 則 $\dps{\vlm{n}x_n=a}$.
1.2.4 設 $\dps{x_n=\sum_{k=2}^n \frac{\cos k}{k(k-1)}}$, 試證 $\sed{x_n}$ 收斂.
1.2.5 設 $\sed{a_n}$ 是一個數列. 試證: 若 $$\bex \vlm{n}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a\qwz{為有限數}, \eex$$ 則 $\dps{\vlm{n}\frac{a_n}{n}=0}$. (首都師范大學)
1.2.6 設 $a_n>0\ (n=1,2,\cdots)$ 且 $\exists\ C>0, m<n$ 時, $a_n\leq Ca_m$. 已知 $\sed{a_n}$ 中存在子序列 $\sed{a_{n_k}}\to 0$. 試證: $\dps{\vlm{n}a_n=0}$. (武漢大學)
1.2.7 設 $\dps{x_n=1+\f{1}{\sqrt{2}}+\f{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\f{1}{\sqrt{n}} }$, 求證 $\sed{x_n}$ 發散.
1.2.8 判斷題: 設 $\sed{a_n}$ 是一個數列, 若在任一子序列 $\sed{a_{n_k}}$ 中均存在收斂的子列 $\sed{a_{n_{k_r}}}$, 則 $\sed{a_n}$ 必為收斂數列. (北京大學)
1.2.9 設 $\sed{a_n}$ 為單調遞增數列, $\sed{a_{n_k}}\subset \sed{a_n}$ 為其一個子列, 若 $\dps{\vlm{k}a_{n_k}=a}$, 試證 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$. (華中師范大學)
1.2.10 設 $\sed{x_n}$ 是一個無界數列, 但非無窮大量, 證明: 存在兩個子列, 一個是無窮大量, 另一個是收斂子列. (哈爾濱工業大學)
1.2.11 設函數 $f(x),g(x)$ 在 $0$ 的某個鄰域里有定義 $g(x)>0$, $\dps{\lim_{x\to 0}\f{f(x)}{g(x)}=1}$; 且當 $n\to\infty$ 時, $\al_{mn}\rightrightarrows 0\ (m=1,2,\cdots,n)$, 亦即 $\forall\ \ve>0,\ \exists\ N(\ve)>0,$ 當 $n>N(\ve)$ 時, 一切 $m=1,2,\cdots,n$, 都有 $|\al_{mn}|<\ve$; 另設 $\al_{mn}\neq 0$. 試證 $$\bee\label{1.2.11:eq} \vlm{n}\sum_{m=1}^n f(\al_{mn}) =\vlm{n}\sum_{m=1}^n g(\al_{mn}), \eee$$ 當右端極限存在時成立.
1.2.12 證明 $$\bex \vlm{n}\sum_{i=1}^n \sex{\sqrt[3]{1+\f{i}{n^2}}-1} =\vlm{n}\sum_{i=1}^n \f{i}{3n^2}=\f{1}{6}. \eex$$ 並求 $$\bex \vlm{n}\prod_{i=1}^n a^{\sqrt[3]{1+\f{i}{n^2}}-1}\ (a>0). \eex$$
1.3.1 求極限 $$\bex \vlm{n}\sex{1-\f{1}{2^2}}\sex{1-\f{1}{3^2}}\cdots\sex{1-\f{1}{n^2}}. \eex$$ (北京航空航天大學, 中國科學技術大學)
1.3.2 證明 Vieta 公式: $$\bee\label{1.3.2:eq} \f{2}{\pi} =\sqrt{\f{1}{2}}\cdot \sqrt{\f{1}{2}+\f{1}{2}\sqrt{\f{1}{2}}}\cdot \sqrt{\f{1}{2}+\sqrt{\f{1}{2}+\f{1}{2}\sqrt{\f{1}{2}}}} \cdots. \eee$$
1.3.3 求 $\dps{\vlm{n}\sex{\f{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}}^n }$ ($a,b,c>0$). (東北師范大學)
1.3.4 求 $\dps{\vlm{n}\sex{\cos\f{x}{n}+\lm \sin \f{x}{n}}^n}$ ($x\neq 0$).
1.3.5 求 $\dps{\lim_{x\to 0^+}\sqrt[x]{\cos \sqrt{x}}}$.
1.3.6 求 $\dps{\vlm{n}\sex{\f{1}{n^2+n+1}+\f{2}{n^2+n+2} +\cdots+\f{n}{n^2+n+n}}}$. (華中師范大學)
1.3.7 求 $\dps{\vlm{n}\sex{ \f{1}{\sqrt{n^2-1}} -\f{1}{\sqrt{n^2-2}} -\cdots-\f{1}{\sqrt{n^2-n}}}}$. (湖北大學)
1.3.8 設 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上連續. 求 $$\bex \lim_{x\to 0}\f{\sqrt[3]{1+f(x)\sin x}-1}{3^x-1}. \eex$$ (華中師范大學)
1.3.9 設極限 $\dps{\vlm{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)}$ 存在, 試求 1) $\dps{\vlm{n}\f{1}{n}(a_1+2a_2+\cdots+na_n)}$; 2) $\dps{\vlm{n}(n!a_1\cdot a_2\cdot\cdots\cdot a_n)^\f{1}{n}}$.
1.3.10 設 $A=\max\sed{a_1,a_2,\cdots,a_m},\ a_k>0\ (k=1,2,\cdots,m)$, 求 $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}. \eex$$ (陝西師范大學)
1.3.11 求 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{1+2^n\sin^nx}}$. (內蒙古大學)
1.3.12 求 $\dps{\lim_{x\to 0}\f{x-\int_0^x e^{t^2}\rd t}{x^2\sin 2x}}$. (中國科學院)
1.3.13 計算 $\dps{\lim_{x\to +\infty}\sex{\f{1}{x}\cdot \f{a^x-1}{a-1}}^\f{1}{x}}$\ ($a>0,\ a\neq 1$). (中國科學院)
1.3.14 若 $\dps{f(x)=\seddm{ \f{1-\cos x}{x^2},&x<0\\ 5,&x=0\\ \f{\int_0^x \cos t^2\rd t}{x},&x>0 }}$. 求 $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)}$. (上海工業大學)
1.3.15 求 $\dps{\lim_{x\to +\infty}\sex{\sqrt[6]{x^6+x^5}-\sqrt[6]{x^6-x^5}}}$. (華中師范大學)
1.3.16 證明: 當 $0<k<1$ 時, $$\bex \vlm{n}[(n+1)^k-n^k]=0. \eex$$
1.3.17 $\dps{\lim_{x\to 1}(2-x)^{\tan \f{\pi x}{2}}}$. (浙江大學)
1.3.18 已知 $\dps{\lim_{x\to 2}\f{x^2+ax+b}{x^2-x-2}=2}$, 求 $a,b$. (國防科技大學)
1.3.19 $\dps{\lim_{x\to +\infty}x^\f{7}{4}\sex{\sqrt[4]{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-2\sqrt[4]{x} }}$. (華中師范大學)
1.3.20 求 $\dps{\lim_{x\to+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})}$. (武漢大學)
1.3.21 設 $f$ 是 $\bbR$ 上的可微函數, $\dps{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=A>0}$, 試證: $$\bex \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty. \eex$$
1.3.22 設 $f$ 是 $\bbR$ 上的可微函數, $\dps{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=0}$, 試證: $\dps{\lim_{x\to +\infty}\f{f(x)}{x}=0}$.
1.3.23 $x_n>0$, $\dps{\vlm{n}x_n=0}$, 試證: 1) $\dps{\vlm{n}\sex{\prod_{k=1}^n x_k}^\f{1}{n}=0}$; 2) $\dps{\vlm{n}\sup_{k\geq 1}\sex{\prod_{i=1}^n x_{i+k}}^\f{1}{n}=0}$.
1.3.24 對 $a_1\geq a_2\geq\cdots\geq a_n>0$, $p_1>p_2>\cdots>p_n$, $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$, 令 $$\bex F(x)=\sex{p_1a_1^x+p_2a_2^x+\cdots+p_na_n^x}^\f{1}{x}, \eex$$ 試先證明: 1) $a_n\leq F(x)\leq a_1$; 2) $\dps{\lim_{x\to 0^+}F(x)=a_1^{p_1}a_2^{p_2}\cdots a_n^{p_n}}$. 然后求 $\dps{\lim_{x\to \pm \infty}F(x)}$.
1.4.1 求 $\dps{\vlm{n}x_n}$, 其中 1) 設 $x_n=\sqrt[n]{n}$; 2) 設 $\dps{x_n=\f{1}{\sqrt[n]{n!}}}$.
1.4.2 求 $\dps{\vlm{n}\f{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n} }$. (華中師范大學)
1.4.3 已知數列 $\sed{x_n}$ 滿足條件 $\dps{\vlm{n}(x_n-x_{n-2})=0}$, 證明: $\dps{\vlm{n}\f{x_n-x_{n-1}}{n}=0}$. (四川大學, 國防科技大學)
1.4.4 設 $\dps{\vlm{n}x_n=a}$. 1) 若 $a$ 為有限數, 證明: $\dps{\vlm{n} \f{x_1+2x_2+\cdots+nx_n}{n(n+1)}=\f{a}{2}}$; 2) 若 $a$ 為 $+\infty$, 證明: $\dps{\vlm{n} \f{x_1+2x_2+\cdots+nx_n}{n(n+1)}=+\infty}$. (南京大學)
1.4.5 證明: 若數列 $\sed{a_n}$ 收斂於 $a$, 且 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^n p_k=\infty}$, $p_k\geq 0\ (k=1,2,\cdots)$, 則 $$\bex \vlm{n}\f{\sum_{k=1}^n p_ka_k}{\sum_{k=1}^n p_k}=a.\qwz{東北師范大學} \eex$$
1.4.6 已知 $\dps{\vlm{n}\sum_{k=1}^na_k}$ 存在, $\sed{p_k}$ 為單調增加的正數列, 且 $\dps{\vlm{n}p_n=+\infty}$, $p_{n+1}\neq p_n\ (n=1,2,\cdots)$, 求證: $$\bex \vlm{n}\f{p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n}{p_n}=0.\qwz{北京師范大學} \eex$$
1.4.7 若 $0<\lm<1$, $a_n>0$, 且 $\dps{\vlm{n}a_n=a}$, 試證: $$\bex \vlm{n}(a_n+\lm a_{n-1}+\lm^2a_{n-2}+\cdots+\lm^na_0)=\f{a}{1-\lm}. \eex$$
1.4.8 求極限 1) $\dps{\vlm{n}\f{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}}$; 2) $\dps{\vlm{n}\sex{\f{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k}} -\f{n}{k+1}}}$.
1.5.1 已知 $$\bex a_1=\sqrt{6},\quad a_n=\sqrt{6+a_{n-1}}\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 試證: $\dps{\vlm{n}a_n}$ 存在, 並求其值. (中國科技大學, 北京大學, 哈爾濱工業大學, 北京郵電大學等)
1.5.2 設 $$\bex x_1=1,\quad x_{n+1}=\f{1+2x_n}{1+x_n}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 證明: $\sed{x_n}$ 收斂, 並求 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (哈爾濱工業大學, 華中理工大學等)
1.5.3 設 $$\bex 0<c<1,\quad a_1=\f{c}{2},\quad a_{n+1}=\f{c}{2}+\f{a_n^2}{2}. \eex$$ 證明: $\sed{a_n}$ 收斂, 並求其極限. (武漢大學, 華中師范大學)
1.5.4 設 $$\bex a>0,\quad 0<x_1<a,\quad x_{n+1}=x_n\sex{2-\f{x_n}{a}}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 證明 $\sed{x_n}$ 收斂, 並求其極限. (華東師范大學)
1.5.5 設 $$\bex x_1=a>0,\quad x_{n+1}=\f{1}{2}\sex{x_n+\f{a}{x_n}}. \eex$$ 試證 $\sed{x_n}$ 收斂, 並求其極限. (華中理工大學, 廈門大學, 工程兵學院)
1.5.6 $y_{n+1}=y_n(2-y_n),\ 0<y_0<1$. 求證: $\dps{\vlm{n}y_n=1}$. (武漢大學)
1.5.7 證明: 1) 存在唯一的 $c\in (0,1)$ 使得 $c=e^{-c}$; 2) 任給 $x_1\in (0,1)$, 定義 $x_{n+1}=e^{-x_n}$, 則有 $\dps{\vlm{n}x_n=c}$. (中國人民大學)
1.5.8 設 $\dps{x_{n+1}=1+\f{x_n^2}{1+x_n^2}, x_1=2}$. 證明數列 $\sed{x_n}$ 收斂. (北京師范大學)
1.5.9 設 $$\bex x_0>0,\quad x_{n+1}=2+\f{1}{\sqrt{x_n}}. \eex$$ 求 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (武漢大學)
1.5.10 設 $\dps{f(x)=\f{x+2}{x+1}}$, 數列 $\sed{x_n}$ 由如下遞推公式定義: $$\bex x_0=1,\quad x_{n+1}=f(x_n)\ (n=0,1,2,\cdots). \eex$$ 求極限 $\dps{\vlm{n}x_n}$. (浙江大學)
1.5.11 設 $$\bex u_1=3,\quad u_2=3+\f{4}{3},\quad u_3=3+\f{4}{3+\f{4}{3}},\cdots. \eex$$ 如果數列 $\sed{u_n}$ 收斂, 計算其極限, 並證明數列 $\sed{u_n}$ 收斂於上述極限. (武漢大學)
1.5.12 設 $$\bex x_0=m,\quad x_1=m+\ve \sin x_0,\ x_n=m+\ve \sin x_{n-1}\ (n=2,3,\cdots), \eex$$ 其中 $0<\ve<1$. 試證: $\dps{\vlm{n}x_n=\xi}$ 存在且為克普勒方程 $x-\ve \sin x=m$ 的唯一唯一根.
1.5.13 設 $|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq k|x_n-x_{n-1}|\ (0<k<1)$, 試證: $\sed{x_n}$ 收斂.
1.5.14 設 $a_1,b_1$ 是二正數, 令 $$\bex a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n},\quad b_{n+1}=\f{a_n+b_n}{2}. \eex$$ 試證: $\sed{a_n}$ 和 $\sed{b_n}$ 均收斂, 且 $\dps{\vlm{n}a_n=\vlm{n}b_n}$. (大連理工大學)
1.5.15 設 $a_1$ 和 $b_1$ 是任意兩個正數, 並且 $a_1\leq b_1$, 還設 $$\bex a_n=\f{2a_{n-1}b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}},\quad b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 求證: $\sed{a_n},\sed{b_n}$ 均收斂, 且極限相同. (中國科學院, 安徽大學)
1.5.16 討論由 $x_1=a, x_n=px_{n-1}+q$ ($p>0$) 所定義的數列的收斂性. (南京大學)
1.5.17 設 $\bbR$ 中數列 $\sed{a_n},\sed{b_n}$ 滿足 $$\bex a_{n+1}=b_n-qa_n\ (n=1,2,\cdots), \eex$$ 其中 $0<q<1$. 證明: 當 $\sed{b_n}$ 有界時, $\sed{a_n}$ 有界. (清華大學)
1.5.18 設 $x_0=1, x_1=e, x_{n+1}=\sqrt{x_nx_{n-1}}\ (n\geq 1)$, 求極限 $\dps{\vlm{n}x_n}$.
1.5.19 設 $\dps{a_{n+1}=a_n+a_n^{-1}\ (n>1),\ a_1=1}$, 則 1) $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty}$; 2) $\dps{\sum_{n=1}^\infty a_n^{-1}=+\infty}$. (中國科學院)
1.5.20 設連續函數 $f(x)$ 在 $[1,\infty)$ 上是正的, 單調遞減的, 且 $$\bex d_n=\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f(x)\rd x. \eex$$ 試證: 數列 $d_1,d_2,\cdots$ 收斂. (清華大學)
1.5.21 已知 $a_1=\al$, $b_1=\be$ $(\al>\be$), $$\bex a_{n+1}=\f{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\f{a_{n+1}+b_n}{2}\quad(n=1,2,\cdots). \eex$$ 證明: $\dps{\vlm{n}a_n}$ 及 $\dps{\vlm{n}b_n}$ 存在且相等, 並求出極限值. (內蒙古大學)
1.5.22 證明: 數列 $$\bex x_0>0,\quad x_{n+1}=\f{x_n(x_n^2+3a)}{3x_n^2+a}\ (a\geq 0) \eex$$ 的極限存在, 並求其極限. (國外賽題)
1.5.23 設 $\sed{x_n}$ 是如此數列: $$\bex x_0=25,\quad x_n=\arctan x_{n-1}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 證明 $\sed{x_n}$ 收斂, 並求其極限. (國外賽題)
1.5.24 設 $$\bex S_1=\ln a\ (a>1);\quad S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\ln(a-S_k)\ (n=2,3,\cdots). \eex$$ 求 $\dps{\vlm{n}S_n}$.
1.5.25 設 $x_1>0$, $x_{n+1}=\ln (1+x_n)$. 證明 $x_n\to 0$ 且 $\dps{x_n\sim \f{2}{n}}$ (當 $n\to\infty$ 時).
1.5.26 設 $a_1=1$, $a_k=k(a_{k-1}+1)$. 試計算: $$\bex \vlm{n}\prod_{k=1}^n \sex{1+\f{1}{a_k}}.\qwz{國外賽題} \eex$$
1.5.27 設正項級數 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 收斂, 數列 $\sed{y_n}$ 由下式確定: $$\bex y_1=1,\quad 2y_{n+1}=y_n+\sqrt{y_n^2+a_n}\ (n=1,2,\cdots). \eex$$ 證明 $\sed{y_n}$ 是遞增的收斂數列. (福建師范大學)
1.6.1 用不同的方法證明以下不等式: 1) $$\beex\bea \vli{n}x_n+\vli{n}y_n&\leq \vli{n}(x_n+y_n) \leq \vli{n}x_n+\vls{n}y_n\\ & \leq \vls{n}(x_n+y_n) \leq \vls{n}x_n+\vls{n}y_n \eea\eeex$$ 在不出現 $(\pm \infty)+(\mp\infty)$ 的情況下成立. 2) 設 $x_n>0,\ y_n>0$ $(n=1,2,\cdots)$, 則 $$\beex\bea \vli{n}x_n \cdot \vli{n}y_n&\leq \vli{n}(x_n\cdot y_n) \leq \vli{n}x_n\cdot \vls{n}y_n\\ & \leq \vls{n}(x_n \cdot y_n)\leq \vls{n}x_n\cdot \vls{n}y_n \eea\eeex$$ 在不出現 $0\cdot (+\infty)$ 的情況下成立.
1.6.2 證明: 1) $\dps{\vli{n}x_n-\vls{n}y_n \leq \vls{n}(x_n-y_n) \leq \vls{n}x_n-\vli{n}y_n}$; 2) 若 $x_n>0, y_n>0$ 且 $\dps{\vli{n}y_n>0}$, 則 $$\bex \vli{n}x_n/\vls{n}y_n \leq \vls{n}(x_n/y_n)\leq \vls{n}x_n/\vli{n}y_n. \eex$$
1.6.3 證明: 若 $x_n>0$\ ($n=1,2,\cdots)$ 及 $$\bex \vls{n}x_n \cdot \vls{n}\frac{1}{x_n}=1. \eex$$ 則序列 $\sed{x_n}$ 收斂.
1.6.4 設 $x_n>0\ (n=1,2,\cdots)$, 試證: $$\bex \vli{n}\f{x_{n+1}}{x_n} \leq \vli{n}\sqrt[n]{x_n} \leq \vls{n}\sqrt[n]{x_n} \leq \vls{n}\f{x_{n+1}}{x_n}. \eex$$ 並由此推出, 當 $\dps{\vlm{n}\f{x_{n+1}}{x_n}=l}$ 時, 則 $\dps{\vlm{n}\sqrt[n]{x_n}=1}$.
1.6.5 試證: 若 $\dps{\vls{n}\sqrt[n]{|a_n|}=A}$, 則對任意固定的整數 $n_0$ 都有 $$\bex \vls{n}\sqrt[n]{|a_{n_0+n}|}=a.\qwz{北京理工大學} \eex$$
1.6.6 證明: 若 $\dps{\vls{n}c_n\leq c}$, 則 $$\bex \vls{n}\f{c_n}{1+|c_n|}\leq \f{c}{1+|c|}. \eex$$
1.6.7 給定正數列 $\sed{a_n}$, 證明 $$\bex \vls{n} \sex{\f{a_1+a_{n+1}}{a_n}}^n \geq \e.\qwz{國外賽題} \eex$$
1.6.8 證明: 集合 $$\bex M=\sed{\f{1}{2}\pm \f{n}{2n+1};\ n=1,2,\cdots} \eex$$ 只有聚點 $0,1$. (國外賽題)
1.6.9 序列 $\sed{x_n}$ 定義如下: $x_1=x$ 是閉區間 $[0,1]$ 中的某一點, 如果 $n\geq 2$, 那么序列 $$\bex x_n=\seddm{ \f{1}{2}x_{n-1},&n\mbox{ 是偶數}\\ \f{1+x_{n-1}}{2},&n\mbox{ 是奇數} } \eex$$ 可能有多少個聚點? (國外賽題)
1.6.10 證明: 若序列 $\sed{x_n}$ 有界且 $\dps{\vlm{n}(x_{n+1}-x_n)=0}$. 則此序列的聚點之集合是區間 $[l,L]$, 其中 $$\bex l=\vli{n}x_n,\quad L=\vls{n}x_n. \eex$$
1.7.1 試將 $\S$ 1.6 中關於序列上、下極限的例題與練習改變成函數上、下極限的命題, 並加以討論.
1.8.1 設函數 $f(x)$ 在有限區間 $I$ 上有定義, 滿足: $\forall\ x\in I$, 存在 $x$ 的某個開鄰域 $(x-\del,x+\del)$, 使得 $f(x)$ 在 $(x-\del,x+\delta)\cap I$ 上有界. 1) 證明: 當 $I=[a,b]$ ($0<b-a<+\infty$) 時, $f(x)$ 在 $I$ 上有界; 2) 當 $I=(a,b)$ 時, $f(x)$ 在 $I$ 上一定有界么? (廈門大學)
1.8.2 設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定義且在每一點處函數的極限存在, 求證: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界. (哈爾濱工業大學)
1.8.3 設 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內有定義, $\forall\ \xi\in (a,b)$, $\exists\ \del>0$, 當 $x\in (\xi-\del,\xi+\del)\cap (a,b)$ 時, 有 $$\bex f(x)<f(\xi)\ (\mbox{當 }x<\xi\mbox{ 時}); \quad f(x)>f(\xi)\ (\mbox{當 }x>\xi\mbox{ 時}). \eex$$ 求證: $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內嚴格遞增.
1.8.4 用有限覆蓋定理證明: 任何有界數列必有收斂子列. (西北大學)
1.8.5 試用區間套定理重新證明第 1.1 節 練習 1.1.13: ``設 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $\nearrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 試證: $\exists\ x_0\in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建師范大學) ''