上下極限與上下積分的奇妙聯系

前兩天復習部分極限的時候，突然意識到上下極限和上下積分簡直有異曲同工之妙，今天有時間將它們放到一起來看一下。

序列極限

​ 實數序列\(\{a_n\}\)：

\[a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \]

稱為當\(n\rightarrow \infty\) 時趨於極限\(\alpha \in \R\)，若

\[\forall\varepsilon>0\exists N\in\N\forall n\geq N(a_n\in(\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon)).\tag{1.1} \]

​ 序列\(\{a_n\}\) 的上極限定義為

\[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n = \overline\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\sup_{k\geq n}a_k\right).\tag{1.2} \]

下極限同理。

​ 序列\(\{a_n\}\) 有極限的充分必要條件是，它的上極限和下極限相等。這時，我們有

\[\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n.\tag{1.3} \]

Riemann積分

​ 設\(f:[a,b]\rightarrow\R\) 是有界閉區間上的實值函數。閉區間\([a,b]\) 上的\(n+1\) 個點

\[\cal{C}:a = x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b \]

稱為區間\([a,b]\) 的一個分划。閉區間\([a,b]\) 因此被分划成\(n\) 個小區間

\[[a,b]= \bigcup_{k=1}^n[x_{i-1},x_i], \]

其中兩個不同的小區間之交或為空集，或為單點集（總之是長度為零的集合）。在每個小區間上任選一點\(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\)，並構造函數\(f\) 相對於分划\(\cal{C}\) 和選點組\(\xi = \{\xi_1,\cdots,\xi_n\}\) 的Riemann 和：

\[\cal{R}(f;\cal{C};\xi)=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)dx(x_i-x_{i-1}).\tag{2.1} \]

假若當小區間\([x_{i-1},x_i]\space(1\leq i\leq n)\) 的長度的最大者趨於零時，不論滿足條件\(\xi_i \in[x_{i-1},x_i]\) 的選點組\(\xi = \{\xi_1,\cdots,\xi_n\}\) 如何選取，Riemann 和(2.1) 收斂於某個實數\(I\in \R\)，則稱\(f\) 在\([a,b]\) 上Riemann 可積，\(I\) 稱為\(f\) 在區間\([a,b]\) 上的Riemann 積分，記作

\[I = \int_a^bf(x)dx. \]

​ 用\(m_i\) 與\(M_i\) 分別表示函數\(f(x)\) 在第\(i\) 個部分區間\([x_i,x_{i+1}]\) 上的下確界與上確界，並作和

\[s = \sum _{i=0}^{n-1} m_i \Delta x_i,\quad S = \sum_{i=0}^{n-1} M_i\Delta x_i.\tag{2.2} \]

這些和分別叫做下積分和與上積分和，或者Darboux和。

\[I_* = \sup\{s\},\quad I^* = \inf\{S\},\tag{2.3}\\ s \leq I_* \leq I^* \leq S, \]

數\(I_*\) 與數\(I^*\) 分別叫做 Darboux下積分 與 Darboux上積分。

​ 定積分存在的充要條件是

\[\lim_{\lambda \rightarrow 0} (S-s) = 0,\\ 也即 I_* = I^*.\tag{2.4} \]

這里也提一下，以上是菲赫金哥爾茨對上下積分的定義，而陳天權對於上積分的定義是用大於被積函數\(f(x)\) 的“階梯函數”\(g(x)\) （形似取整函數）的積分（這類函數的積分不需要如(2.1)那樣嚴格的定義）的下確界來定義的。個人認為這樣其實更清晰，同時也回避了那個說不清道不明的“分划的模”的問題。

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總的來看，二者都是用確界來代表某個集合，用類似“夾逼”的方式簡化了問題。原本想直接將后者視為前者的一個應用，但由於無法構造這樣的一個積分和序列（該死的\(\lambda\) ），只得作罷。問題大概在於雖然積分有極限的思想，但並沒有嚴格的極限表述。

另外，寫到最后，我突然意識到，這似乎還和上一篇《確界：最小自然數原理與Dedekind定理》聯系起來了，可以算是“確界”這一性質的重要性的一個有力的例子。