用極限（定積分）求面積的原理

如上圖所示，在[a,b]上取n+1個不同的點x_i，即

a = x₀ < x₁ < x₂ < ⋯ < x_i − 1 < x_i < ⋯ < x_n = b （其中i = 1, 2, …, n）

那么[a,b]就被分成了n個小區間，其中相鄰兩個分點構成的閉區間[x_i − 1, x_i]的長度記為Δx_i = x_i − x_i − 1，因為這些點是任意取的，所以每個這種小區間的長度可以不一樣，在每個小區間內任取一點ξ_i，用底為Δx_i，高為f(ξ_i)（圖中豎直虛線所示）的矩形近似代替對應區間內小曲邊梯形的面積，這些小矩形的面積之和

$$f\left( \xi_{1} \right)\Delta x_{1} + f\left( \xi_{2} \right)\Delta x_{2} + \cdots + f\left( \xi_{n} \right)\Delta x_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$$

就是整個大的曲邊梯形面積（the area under the curve）的近似。當每個小矩形的底都越來越靠近0，即越來越窄的時候，這些小矩形的面積之和便會越來越接近大的曲邊梯形的面積，

所以定這個過程中$\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$的極限為曲邊梯形的面積就顯得很自然而然了¹。

“每個小矩形的底都越來越靠近0”的一種等價說法是“底邊長度最大的小矩形的底越來越靠近0”（最大的都靠近0了，其余比它小的自然也更靠近0，進而每個都越來越靠近0），這種等價轉述是為了方便下面用極限符號來表示上述求曲邊梯形面積的原理。記底邊最長的小矩形的底邊長為λ，顯然λ大於等於每個小矩形的底Δx_i，λ → 0時，每個Δx_i也都 → 0，所以如果用S代表曲邊梯形的面積的話，那么上述求面積的原理可以用數學符號表述為²

$$\begin{matrix}
\lim_{\lambda \rightarrow 0}\left( f\left( \xi_{1} \right)\Delta x_{1} + f\left( \xi_{2} \right)\Delta x_{2} + \cdots + f\left( \xi_{n} \right)\Delta x_{n} \right) = \lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i = 1}^{n}{f\left( \xi_{i} \right)\Delta x_{i} = S}} \\
\end{matrix}$$

下面解答幾個學習過程中可能碰到的疑點：

1. 在每個小矩形的底都越來越靠近0的過程中，小矩形的總數n會越來越多（想想為什么？），即λ → 0時，每個Δx_i也都 → 0， n → ∞。

2. 每個Δx_i都 → 0時，每個小矩形的面積f(ξ_i)Δx_i → 0，而這個過程中n → ∞，以至於有學生會認為大的曲邊梯形的面積最終是無數個底為0也即面積為0的小矩形面積相加的結果，這種誤解源於對極限思想的理解不到位，Δx_i → 0意味着Δx_i在“永無止境”地越來越靠近0，所以根本不存在“Δx_i最終變成0”這么一說，同樣也就不可能有f(ξ_i)Δx_i也變成0的說法。在極限的ε-δ定義中也明確規定過0 < |x − x₀| < δ，即在x → x₀的過程中x不會變成所趨近的點x₀，所以上述求面積的過程中Δx_i不會變成0。

3. 既然Δx_i最終不會變成0，那么每一個小矩形和對應的小曲邊梯形的面積總有差異，以至於上述極限過程中任何一個$\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$都不會是最終要求的曲邊梯形的面積的准確值，所以面積准確值究竟是怎么求出來的呢？這同樣是個對極限思想理解不到位引起的疑問，在此舉一簡單例子來闡明極限思想，比如“當x > 0且x → 0時，x + 1 → 1”，按上述說法在極限過程中x ≠ 0，那么極限值1究竟是怎么計算出來的呢？當x從0的右邊永無止境地越來越靠近0的時候，

   

   任何比1大的數終將在x不斷靠近0的過程中變得大於x+1，以至於x+1最終會小於一切比1大的數，又因為x > 0，所以x+1>1，所以x+1在x無止境地越來越靠近0的過程中不會逼近任何一個比1大的數，只會逼近1，也就是說極限值1不是“等於出來的”，而是“被逼出來的”，這就是“當x > 0且x → 0時，x + 1 → 1”所蘊含的極限思想。同理，曲邊梯形面積的准確值是通過一系列的$\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$在λ → 0的過程中不斷“逼出來的”。為了讓大家徹底明白用極限求面積的原理，下面再舉一例（按照上面的說法每一個小矩形的高f(ξ_i)是可以在對應的區間內任意取的，下圖就取對應小區間內最小的f(ξ_i)），

   

   每種分割下的小矩形面積之和$\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$都比要求的曲邊梯形的面積要小，但是在每個小矩形的底都越來越靠近0的過程中，$\sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}$終將超越任何一個比面積准確值小的值，從而把面積准確值給逼出來。

4. 有學生可能會說：“好吧，我承認Δx_i最終不會變成0，但它最終會變成一個比0大並且比任何正實數都小的‘無窮小量’，那么f(ξ_i)Δx_i也會變成無窮小量，所以大的曲邊梯形的面積最終是無數個無窮小量的和”，這種誤解從18世紀就有了。首先這種說法提到了Δx_i“最終”會變成無窮小量，同樣是認為極限過程有一個最終狀態，犯了上面2中說到的錯誤，僅這一點就可以否定這種理解；其次在於錯誤地認為存在“一個比0大並且比任何正實數都小的無窮小量”，要糾正這種錯誤觀念首先應該認識到我們討論的用極限求面積是在什么數系范圍內進行的——實數系，而根據實數系內的阿基米德性質（Archimedean Property for Real Numbers）：對於任意正實數x，總存在正整數n使得$\frac{1}{n} < x$，所以在實數系內不存在“一個比0大並且比任何正實數都小的無窮小量”，因為總有比該量還小的$\frac{1}{n}$存在。這種誤解在Introduction to Calculus and Analysis Volume I, Reprint of the 1989 edition, Richard Courant, Fritz John, p125處也說過：

   The definition of the integral as the limit of a sum led Leibnitz to express the integral by the following symbol:$$\int_{a}^{b} f(x) d x$$The integral sign is a modification of the summation sign in the shape of a long $ S $ used at Leibnitz's time. The passage to the limit from a finite subdivision into portions $ \Delta x_{i} $ is indicated by the use of the letter $ d $ in place of $ \Delta . $ In using this notation, however, we must not tolerate the eighteenth century mysticism of considering $ d x $ as an "infinitely small" or "infinitesimal quantity," or considering the integral as a "sum of an infinite number of infinitely small quantities." Such a conception is devoid of clear meaning and obscures what we have previously formulated with precision. From our present viewpoint the individual symbol $ d x $ has not been defined at all. The suggestive combination of symbols $ \int_{a}^{b} f(x) d x $ is defined for a function $ f(x) $ in the interval $ [a, b] $ by forming the ordinary sums $ F_{n} $ and passing to the limit as $ n \rightarrow \infty $.

上述取多個小矩形面積之和的極限來計算曲邊梯形面積的方法顯然也適用於計算下圖中由y=2x、x=1、x=5及其x軸圍成的梯形的面積，

而我也打算用這個例子來說明用極限求面積得出來的結果是准確的³。

首先將[1,5]等分成n個小區間，則每個小矩形的底長$\Delta x = \frac{5 - 1}{n} = \frac{4}{n}$，取每個小區間左端點對應的函數值為對應小區間內的小矩形的高，則所有小矩形的面積之和

$$
{\displaystyle {\begin{aligned}
S_{n}&=2 \Delta x+2(1+\Delta x) \Delta x+2(1+2 \Delta x) \Delta x +\cdots+2[1+(n-1) \Delta x] \Delta x\\&=2 \Delta x \cdot \frac{[2+(n-1) \Delta x] \cdot n}{2}\\&=n \Delta x[2+(n-1) \Delta x]\\&=24-\frac{16}{n}
\end{aligned}}}
$$

當每個小矩形的底Δx都越來越靠近0，即Δx → 0，這些小矩形的面積之和便會越來越接近大的梯形的面積，因為$\Delta x = \frac{4}{n}$，所以這里Δx → 0等同於n → ∞，因此定$\lim_{n \rightarrow \infty}\left( 24 - \frac{16}{n} \right) = 24$為梯形的面積就顯得很自然而然了，而這個極限值和我們用梯形面積公式求出來的結果$\frac{(2 + 10) \cdot 4}{2} = 24$是一樣的，這說明了通過極限求出來的面積值是准確的，也印證了上面所說：在極限過程中的任何一個$S_{n} = 24 - \frac{16}{n}$都不會是最終要求的面積的准確值，其值是通過極限過程由一系列的S_n“給逼出來的”。

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1. 菲赫金哥爾茨，數學分析原理(第一卷)，第9版，p264↩

2. 數學分析，第二版，陳紀修，於崇華，金路，p274↩

3. Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Second Edition, Morris Kline, Chapter 9，Section 2↩