多重積分 線面積分

Pre:二重/三重積分

極坐標下的二重積分

\[dxdy=\rho d\theta d\rho \]

因為有:

\[d\delta=d\theta/2\pi\cdot\pi\cdot((\rho+d\rho)^2-\rho^2) \]

三重積分的球坐標

\[dxdydz=r^2sin\varphi d\rho d\varphi d\theta \]

三重積分的柱坐標

\[dxdydz=dsdz=\rho d\theta d\rho dz \]

形心

\[\bar x=\frac{\iint_D x\ dxdy}{\iint_D dxdy} \]

一類

一類線積分

對於質量的積分.

如果有參數式\(x=g(t),y=h(t)\),那么有

\[\int_L f(x,y)ds=\int f\cdot\sqrt{g'^2+h'^2}\ dt \]

一類面積分

\[\iint f(x,y,z)ds=\iint_{Proj}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+z_x'^2+z_y^2}dxdy \]

二類

二類線積分

\[\int_L Pdx+Qdy=Pg'+Qh'\ dt \]

定符號:右手定則

GL公式

\[\int_{Loop} Pdx+Qdy= \iint_\Sigma Q/\partial x - P/ \partial y \ dxdy \]

注意閉環內無定義的點要特別挖出來.典型的例如\(\frac{1}{x^2+y^2}\)在(0,0)無定義,需要挖一塊\(x^2+y^2=r^2.\)出來.注意定號.

當\(Q/\partial x = P/ \partial y\),積分在有定義區域內積分和路徑無關.

定號方式:

設要求L1逆時針的積分 中間挖了一個洞L2,順時針

則有

\[\int_{L1}+\int_{L2}=0 \int_{L1}=-\int_{L2}=\int_{-L2} \]

即求L2的逆時針.

二類面積分

\[\int Pdydz+Qdxdz+Rdxdy \]

對於其中一個分量:

\[\int R dxdy=\iint_{Proj}R(x,y,z(x,y))dxdy \]

定號:依方向的坐標軸.

GS公式

對於閉空間面

\[\iiint_{\Sigma} Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint P/\partial x+Q/\partial y+R/\partial z dxdydz \]

定符號為外側為正.同GL公式,當沒有定義的時候挖洞.

STKS公式:空間曲線的二類積分

對於空間曲線的二類積分

定號:平面的法向量=閉曲線的右手定則

物理應用

• 形心:\(\bar x=\frac{\iint_D x\ dxdy}{\iint_D dxdy}\)

• 轉動慣量:\(I=r^2\rho(x,y,z)dv\),r為到轉動軸的距離.