轉載請注明 https://www.cnblogs.com/lihaqwq/p/9501876.html
1.對曲線曲面積分的理解
第一型曲線積分和第一型曲面積分是以線密度和面密度為背景的線積分，強調是以線段（弧長）、面積為積分
元素即：ds
第二型曲線曲面積分則是分別以力做功和流量為背景的積分，強調的是對坐標的積分。實際上我認為第二類曲
線曲面積分就是對矢量進行積分的一種積分規則。二、三維空間的矢量依靠分解到三個坐標軸上分別
積分，其中需要通過變換積分元素
、
。
所以進行計算時按第一類曲線曲面和第二類曲線曲面積分進行區分計算思維上來得更直接。比如第一型曲線曲
面積分是線密度和面密度的基礎上來的自然沒有方向問題。而第二型曲線曲面積分是做功與流量的矢量計算自然
有方向、又先后。同樣第一型曲線曲面積分只需要變化積分元素和變量，而第二型積分是矢量的點乘基礎上推導
而來，自然就涉及到偏導數、方向導數以及梯度。
2.第一型曲線曲面積分
第一型曲線積分
：只需要將ds變為dx即可
第一型曲面積分
：同樣只需要將ds化為dx同時投影到那個面將對應的變量當成因變量進行
改寫。（這里的ds指的是面積元素）
tip 1：第一型曲面積分的計算中，若出現封閉曲面需要切割成多個面，直到投影不重合。例如
就需要分解成2個曲面。
3.第二型曲線積分
第二型曲線積分又叫對坐標的線積分。按照物理意義進行解釋就是力和路程被分解到二維、三維的坐標軸上
直觀的進行分析。但是計算的時候需要化到一個坐標軸上進行計算，或者格林公式等手段。
3.1格林公式
滿足單連通和雙聯通，P、Q一階連續可偏即可。
tip:格林公式實際上就是把線積分化成了二重積分進行計算，所以在為了簡化運算進行替換時注意分清楚階段。
是線積分的限制條件只能在線積分內進行替換。包括積分域的等量代換，積分域對稱的奇偶變化。
3.2與路徑無關（什么叫柯西黎曼可積：我不是 我沒有 別問我。有興趣自己找一下證明流程）
當第二型先積分滿足：1：積分域單連通（單單單單連通！！！） 2：P、Q一階連續可偏導
並滿足
，就稱積分與路徑無關。
一般與路徑無關有2種計算方法:1:既然與路徑無關，找與坐標軸平行的路徑以避開dx或者dy的積分。
2：滿足與路徑無關的第三個條件恰好是全微分的特征，找到原函數即可。經過實踐，此
方法與計算不太搭調，多用來證明或者求原函數，與微分方程聯系。
tips 1：能用與路徑無關就能用格林公式，偏偏兩個偏導數相等。一般能出現下面的情況
求曲線積分
，l曲線沒有經過無定義點的閉曲線。這個時候用格林公式方便快捷。也可以直接使
用結論沿G內任意閉曲線的曲線積分為零。
2：與格林類似包括曲面積分，在為了簡化運算進行替換時注意分清楚階段，上一階段的限制條件不能拿到下一階段使用。
同一階段對積分域有多個限制條件也不能以偏概全的代替。
4.第二型曲面積分（想想高中時代學過的力的分解瞬間ez）
4.1計算方法
按照方法的特點上來講我習慣叫做二重積分法和三重積分法，直接法就是化到3個坐標平面直接積分。高斯公式就是化到三維空間
的體積分。（學過一遍再去看同濟教材，才發現教材寫得其實相當棒，特別是證明的連貫性）
tips 1：奇偶性有異，由於曲面上向量與坐標軸的夾角關系，關於坐標軸對稱的面上對應點的方向余弦互為相反數，所以函數的
奇偶性在第二型曲面積分上的性質恰好相反。
2：同上注意替換的階段性。同時注意到底哪個才是真的得積分域曲面，形成圓錐曲線的截面不是積分域，可以理解成自變
量的限制條件。
難度不大，把握細節，注意理解，加油
傻蛋 傻蛋 傻蛋 over
