高等數學 - 曲線與曲面積分
1 對弧長的曲線積分
物理意義：變密度曲線的質量
\(\int_Lf(x,y)\text{d}s=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i\) 。
計算法：
設 \(L\) 的參數方程為 \(\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases} (\alpha\le t\le \beta)\) ，若 \(\varphi(t)\) 和 \(\psi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上有一階連續偏導數，且 \(\varphi'^2(t)+\phi'^2(t)\ne0\) ，則曲線積分存在，且 \(\int_Lf(x,y)\text{d}s=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\text{d}t\) 。
理解：直接代入，\(\text{d}s=\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\text{d}t\) （斜邊）
2 對坐標的曲線積分
物理意義：變力沿曲線做的功。
\(\int_LP(x,y)\text{d}x=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\)
\(\int_LQ(x,y)\text{d}y=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i\)
計算法：取直線為 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}\) ，則 \(\int_LP(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=\int_\alpha^\beta\{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}\text{d}t\)
理解：直接代入，\(\text{d}(x)=\text{d}(x(t))=x'(t)\text{d}t\)
3 格林公式
設平面區域 \(D\) 由分段光滑的曲線 \(L\) 圍成，則有 $$\underset{D}{\iint}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\text{d}x\text{d}y=\oint_LP\text{d}x+Q\text{d}y$$ 其中 \(L\) 是 \(D\) 的正向邊界曲線（正向是指區域在邊界方向的左側）。對於有多個邊界曲線的區域（復連通區域），則 \(L\) 為所有正向邊界曲線的集合。
理解：以電場為例，\(\frac{\partial Q}{\partial x}\) 可以視作 \(Q\) 在 \(x\) 方向上的場，對 \(x\) 積分后得到電勢差 \(Q\)，再對 \(y\) 積分后得到一個電勢差在 \(y\) 方向上邊上的累計量（沒有物理意義）。\(\oint_L Q\text{d}y\) 表示電勢在 \(y\) 方向上的累計量，因此一致。
記憶：符號，在 \(x\) 方向上的場進行曲線積分時，為正值（右側向上方向），在 \(y\) 方向上時，為負值（上側向左）。
寫法：先按 \(P,Q\) 順序寫出曲線積分部分，再根據含義寫出面積積分部分。
注意：格林公式能夠用於單連通區域（區域內的任意封閉曲線所圍的部分都在區域內），也可以應用於復連通區域（含有“洞”的區域），應用於復連通區域時，等式右邊需要包括所有的邊界，且方向規定為沿邊界區域在左側方向。
- （例一）計算 \(\oint_L\frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}\) ，其中 \(L\) 為圓 \(x^2+y^2=1\) ，方向為逆時針方向。
解 1：對於特殊的邊界曲線，可以直接用參數替換求解。\(\oint_L=\int_0^{2\pi}\cos\theta\text{d}\sin\theta-\sin\text{d}\cos\theta=\int_0^{2\pi}\text{d}\theta=2\pi\) 。
解 2：如果被積曲線不是規則曲線，則可以利用格林公式。利用格林公式時要挖掉不可導點，因此構造一個很小的圓 \(x^2+y^2=\xi^2\) ，其中 \(\xi^2\) 為一個很小的值，記這個圓為 \(M\) ，方向為順時針方向，與 \(L\) 圍城的復連通區域為 \(D\) 。對 \(D\) 應用格林公式有
\(\oint_L-\oint_M=\underset{D}{\iint}(\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2})\text{d}s=0\) ，即 \(\oint_L=\oint_M=\frac{1}{\xi^2}\int_0^{2\pi}\xi\cos\theta\text{d}\xi\sin\theta-\xi\sin\theta\text{d}\xi\cos\theta=\int_0^{2\pi}\text{d}\theta=2\pi\) 。
4 曲線積分與路徑無關
曲線積分與路徑無關指在指定區域內，按任何路徑進行 \(A\) 到 \(B\) 的曲線積分，值相同。
由格林公式可知，如果按任何路徑曲線積分值相同，必有環路徑積分值為 \(0\) ，則 \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\)
5 對面積的曲面積分
物理意義：曲面的質量
\(\underset{\Sigma}{\iint}f(x,y,z)\text{d}S=\lim\limits_{\lambda \to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)
計算法：
對面積的曲面積分 \(\to\) 對曲面投影的面積積分
設曲面為 \(z=z(x,y)\)
\(\text{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text{d}x\text{d}y\) [1]
6 對坐標的曲面積分
物理意義：流向曲面一側的流量。
根據曲面的法向量的的指向來判斷曲面的側。對於投影，規定法向量與 \(z\) 軸的夾角余弦符號為投影的符號。
對坐標 \(x,y\) 的曲面積分：
\(\underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\lim\limits_{\lambda \to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}\)
計算法：
設曲面方程為 \(z=f(x,y)\) ，
7 高斯公式
設空間閉區域 \(\Omega\) 是由分片光滑的閉曲面 \(\Sigma\) 所圍成，$$\underset{\Omega}{\iiint}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\text{d}v=\underset{\Sigma}{\oiint} P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$$ 其中 \(\Sigma\) 為 \(\Omega\) 的外側。
- （例一）記 \(\Sigma\) 為柱面 \(x^2+y^2=1\) 及平面 \(z=0,z=3\) 圍成的空間閉區域 \(\Omega\) 的整個邊界曲面的外側，求 \(\underset{\Sigma}{\oiint}(x-y)\text{d}x\text{d}y+(y-z)x\text{d}y\text{d}z\) 。
解：利用高斯公式 \(I=\underset{\Omega}{\iiint}(y-z)\text{d}v=\int_0^3\text{d}z\int_0^1\int_0^{2\pi}(\rho\sin\theta-z)\rho\text{d}\rho\text{d}\theta=-\frac{9}{2}\pi\) 。
8 通量、散度、旋度
設有向量場 \(\boldsymbol{A}(x,y,z)=(P,Q,R)\) ，\(\Sigma\) 是場內的一個有向曲面，\(\boldsymbol{n}\) 是 \(\Sigma\) 在點 \((x,y,z)\) 處的法向量，則積分 \(\underset{\Sigma}{\iint}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\text{d}\boldsymbol{S}\) 稱為向量場 \(\boldsymbol{A}\) 通過曲面 \(\Sigma\) 向着指定側的通量（流量）。為 $$\underset{\Sigma}{\iint} P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$$ 。
向量場在點 \((x,y,z)\) 處的散度為 $$\text{div}\boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$ 。
旋度為：$$\boldsymbol{\text{rot A}}=\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \
P & Q & R
\end{vmatrix}$$
參考曲面的法線 ↩︎