高等数学 - 曲线与曲面积分
1 对弧长的曲线积分
物理意义：变密度曲线的质量
\(\int_Lf(x,y)\text{d}s=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i\) 。
计算法：
设 \(L\) 的参数方程为 \(\begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases} (\alpha\le t\le \beta)\) ，若 \(\varphi(t)\) 和 \(\psi(t)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上有一阶连续偏导数，且 \(\varphi'^2(t)+\phi'^2(t)\ne0\) ，则曲线积分存在，且 \(\int_Lf(x,y)\text{d}s=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\text{d}t\) 。
理解：直接代入，\(\text{d}s=\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\text{d}t\) （斜边）
2 对坐标的曲线积分
物理意义：变力沿曲线做的功。
\(\int_LP(x,y)\text{d}x=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\)
\(\int_LQ(x,y)\text{d}y=\lim\limits_{\lambda\to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i\)
计算法：取直线为 \(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}\) ，则 \(\int_LP(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=\int_\alpha^\beta\{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}\text{d}t\)
理解：直接代入，\(\text{d}(x)=\text{d}(x(t))=x'(t)\text{d}t\)
3 格林公式
设平面区域 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 围成，则有 $$\underset{D}{\iint}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\text{d}x\text{d}y=\oint_LP\text{d}x+Q\text{d}y$$ 其中 \(L\) 是 \(D\) 的正向边界曲线（正向是指区域在边界方向的左侧）。对于有多个边界曲线的区域（复连通区域），则 \(L\) 为所有正向边界曲线的集合。
理解：以电场为例，\(\frac{\partial Q}{\partial x}\) 可以视作 \(Q\) 在 \(x\) 方向上的场，对 \(x\) 积分后得到电势差 \(Q\)，再对 \(y\) 积分后得到一个电势差在 \(y\) 方向上边上的累计量（没有物理意义）。\(\oint_L Q\text{d}y\) 表示电势在 \(y\) 方向上的累计量，因此一致。
记忆：符号，在 \(x\) 方向上的场进行曲线积分时，为正值（右侧向上方向），在 \(y\) 方向上时，为负值（上侧向左）。
写法：先按 \(P,Q\) 顺序写出曲线积分部分，再根据含义写出面积积分部分。
注意：格林公式能够用于单连通区域（区域内的任意封闭曲线所围的部分都在区域内），也可以应用于复连通区域（含有“洞”的区域），应用于复连通区域时，等式右边需要包括所有的边界，且方向规定为沿边界区域在左侧方向。
- （例一）计算 \(\oint_L\frac{x\text{d}y-y\text{d}x}{x^2+y^2}\) ，其中 \(L\) 为圆 \(x^2+y^2=1\) ，方向为逆时针方向。
解 1：对于特殊的边界曲线，可以直接用参数替换求解。\(\oint_L=\int_0^{2\pi}\cos\theta\text{d}\sin\theta-\sin\text{d}\cos\theta=\int_0^{2\pi}\text{d}\theta=2\pi\) 。
解 2：如果被积曲线不是规则曲线，则可以利用格林公式。利用格林公式时要挖掉不可导点，因此构造一个很小的圆 \(x^2+y^2=\xi^2\) ，其中 \(\xi^2\) 为一个很小的值，记这个圆为 \(M\) ，方向为顺时针方向，与 \(L\) 围城的复连通区域为 \(D\) 。对 \(D\) 应用格林公式有
\(\oint_L-\oint_M=\underset{D}{\iint}(\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2})\text{d}s=0\) ，即 \(\oint_L=\oint_M=\frac{1}{\xi^2}\int_0^{2\pi}\xi\cos\theta\text{d}\xi\sin\theta-\xi\sin\theta\text{d}\xi\cos\theta=\int_0^{2\pi}\text{d}\theta=2\pi\) 。
4 曲线积分与路径无关
曲线积分与路径无关指在指定区域内，按任何路径进行 \(A\) 到 \(B\) 的曲线积分，值相同。
由格林公式可知，如果按任何路径曲线积分值相同，必有环路径积分值为 \(0\) ，则 \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\)
5 对面积的曲面积分
物理意义：曲面的质量
\(\underset{\Sigma}{\iint}f(x,y,z)\text{d}S=\lim\limits_{\lambda \to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\)
计算法：
对面积的曲面积分 \(\to\) 对曲面投影的面积积分
设曲面为 \(z=z(x,y)\)
\(\text{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text{d}x\text{d}y\) [1]
6 对坐标的曲面积分
物理意义：流向曲面一侧的流量。
根据曲面的法向量的的指向来判断曲面的侧。对于投影，规定法向量与 \(z\) 轴的夹角余弦符号为投影的符号。
对坐标 \(x,y\) 的曲面积分：
\(\underset{\Sigma}{\iint}R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\lim\limits_{\lambda \to 0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}\)
计算法：
设曲面方程为 \(z=f(x,y)\) ，
7 高斯公式
设空间闭区域 \(\Omega\) 是由分片光滑的闭曲面 \(\Sigma\) 所围成，$$\underset{\Omega}{\iiint}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\text{d}v=\underset{\Sigma}{\oiint} P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$$ 其中 \(\Sigma\) 为 \(\Omega\) 的外侧。
- （例一）记 \(\Sigma\) 为柱面 \(x^2+y^2=1\) 及平面 \(z=0,z=3\) 围成的空间闭区域 \(\Omega\) 的整个边界曲面的外侧，求 \(\underset{\Sigma}{\oiint}(x-y)\text{d}x\text{d}y+(y-z)x\text{d}y\text{d}z\) 。
解：利用高斯公式 \(I=\underset{\Omega}{\iiint}(y-z)\text{d}v=\int_0^3\text{d}z\int_0^1\int_0^{2\pi}(\rho\sin\theta-z)\rho\text{d}\rho\text{d}\theta=-\frac{9}{2}\pi\) 。
8 通量、散度、旋度
设有向量场 \(\boldsymbol{A}(x,y,z)=(P,Q,R)\) ，\(\Sigma\) 是场内的一个有向曲面，\(\boldsymbol{n}\) 是 \(\Sigma\) 在点 \((x,y,z)\) 处的法向量，则积分 \(\underset{\Sigma}{\iint}\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\text{d}\boldsymbol{S}\) 称为向量场 \(\boldsymbol{A}\) 通过曲面 \(\Sigma\) 向着指定侧的通量（流量）。为 $$\underset{\Sigma}{\iint} P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$$ 。
向量场在点 \((x,y,z)\) 处的散度为 $$\text{div}\boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$ 。
旋度为：$$\boldsymbol{\text{rot A}}=\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \
P & Q & R
\end{vmatrix}$$
参考曲面的法线 ↩︎