曲線積分和曲面積分

1. 對弧長的曲線積分（第一類）
2. 對坐標的曲線積分（第二類）
3. 格林公式
4. 對面積的曲面積分（第一類）
5. 對坐標的曲面積分（第二類）
6. 高斯公式

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對弧長的曲線積分（第一類）

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物理意義：密度不均勻的曲線質量；
幾何意義:以xoy上的曲線L為准線。\(z=f（x，y）\)為上界，\(z=0\)為下界形成的曲頂柱面的面積。

化定積分：

1.L由參數方程給出

\(L：x=x(t) , y=(t)(\alpha\leq t \leq\beta)\)
\(\int_Lf(x,y)ds\)

\[=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)] \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(x)]^2} dt \]

2.L由顯函數給出

\(L:y=y(x),x=x(a \leq b)\)
\(\int_Lf(x,y)ds\)

\[=\int_a^bf[x,y(x)] \sqrt{1+[y'(x)]^2} dx \]

或

\(L:x=x(y),y=y(c \leq d)\)
\(\int_Lf(x,y)ds\)

\[=\int_c^df[y,x(y)] \sqrt{1+[x'(y)]^2} dy \]

3.L由極坐標給出

\(L:r=r(\theta)(\alpha \leq \theta \leq \beta)\)
則\(\int_Lf(x,y)ds\)

\[=\int f[r(\theta)cos\theta,r(\theta)sin\theta] \sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta \]

4.L空間中參數方程給出

與 “1” 同理

對坐標的曲線積分（第二類）

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物理背景：變力沿曲線方向所做的功
幾何意義：

化定積分：

（1）L由參數方程給出：

\(L：x=x（t），y=y（t） （t：\alpha \rightarrow \beta\)）
則\(\int_L P(x，y)dx+Q(x,y)dy\)

\[=\int_\alpha^\beta \{P[x(t),y(t)]x'(t)+Q[x(t),y(t)]y'(t)\}dt \]

【空間曲線同理】

（2）L由顯函數給出：

\(L: y=y(x) (x: a \rightarrow b)\)同樣直接代入“消”去y，
則 \(\int_L P(x，y)dx+Q(x,y)dy\)

\[=\int_a^b \{P[x,y(x)]dx+Q[x,y(x)]y'(x)dy\} \]

格林公式

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設閉區域 \(D\) 由分段光滑的曲線 \(L\) 所圍成，函數 \(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在 \(D\) 上具有一階連續 偏導數，則有$$\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy$$其中 \(L\) 是 \(D\) 的取正向的邊界曲線.

詳情於站內鏈接：“格林公式推導與應用”

對面積的曲面積分（第一類）

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物理意義：密度不均勻面的質量

\[\iint\limits_\sum f(x,y,z)dS=\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \]

顯函數給出：
轉為二重積分計算：\(dS=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy\) (此時積分區域是曲面在\(xOy\)上的投影），再將\(z\)代掉用二重積分方法計算即可。

對坐標的曲面積分（第二類）

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物理意義就是單側曲面的流量

兩條計算公式（化二次積分）：

1. \[\iint\limits_\sum P(x,y,z)dydz=\iint\limits_\sum P(x,y,z) cos\gamma dS=\iint\limits_D P(x(y,z),y,z)dydz \]

2. \[\iint\limits_\sum Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iint\limits_D \{P,Q,R\}\cdot (1,-\frac{\partial x}{\partial y},-\frac{\partial x}{\partial z}) dydz \]

（以上均為向\(yOz\)平面投影，向其他平面同理）

高斯公式

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設空間有界閉合區域 \(\Omega\)，其邊界 \(\Omega\) 為分片光滑閉曲面。函數 \(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\) 及其一階偏導數在 \(\Omega\) 上連續，那么：$$\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV=\oint\oint\limits_\sum Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
或

\[\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV=\oint\oint\limits_\sum (Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )dS \]