曲線積分，曲面積分分別有七個小節。
1 對弧長的曲線積分
2 對坐標的曲線積分
3 格林公式及其應用
4 對面積的曲面積分
5 對坐標的曲面積分
6 高斯公式
7 斯托克斯公式
然而今天看了斯托克斯公式，明白了其用法。昨天看了對坐標的曲面積分。明白了是怎么回事。
之前對弧長，坐標的曲線積分。做過相關的題也知道是怎么回事。然后格林公式還自己推導過。只是這些都忘記了。
說明了一件事，寫博客太重要了，應該好好寫。回顧過去，要是當年學PHP 和 JAVA時寫好博客，要是當年學操作系統，IOS時也寫好博客。
那現在的積累肯定是巨大的。也不用擔心工作，和GPA, 和出國的問題。唉！！！這讓我想起了，SCOTT YOUNG說過的一句話。只有在教別人的時候，
人們的理解水平，實踐能力才達到最高的效率。寫博客和GITHUB也一樣，就是自己來教過去的自己，教未來的自己。也教所有其他在網絡世界中尋找知識的游客。
廢話不多說，說說，一道題。
題1若質點在變力F，作用下，沿着螺旋線T：x=2cost,y=2sint,z=t.從點M（2,0,0）出發。到點N(-2,0,PI),變力所做的功是多少？
這是一道曲線積分題，同時也是一道，看起來是第二種曲線積分，實際上是第一種曲線積分的題。
矢量和常量
因為，如果是對弧長的曲線積分的話，物理意義是曲線f(x,y)是密度，ds是一小段長度，算質量。其中，小段長度和密度都是沒有方向的量。
計算方法，就是將曲線函數化成參數方程：
證明方法先不提。而做功不同，力是有方向的矢量，位移也是。就是在點x,y存在多個被積函數( P(x,y) , Q(x,y) , R(x,y) ...)這就是有方向和沒有方向的區別。
第二種曲線積分是兩個矢量的相乘，第一種是兩個常量的相乘。性質滿足線性，可加性，反向性：
計算方法：證明方法先不提。
但是上述的題目，所寫出的公式，最后沒有Q，沒有R，只有P。如果把它改成 P,Q,R模式就滿足第二種曲線積分。
現在找找一些題來看看。
題2
另外這里要注意，靈活運用cosx^2 - sinx^2 =cos2x
題3
這個解題過程有點亂，就是中間有一部分是不需要的。
題4
這個解題過程中有一個錯的地方，就是F，力向量我是寫錯方向的。因為指向原點所以本該是X,Y都
帶負號。
如何把做題的內容上傳呢？打字是不行的。還是寫好拍照上傳到微信截圖。
格林公式又是怎么回事，格林公式說明了一件事。平面閉區域D上的積分，和它邊界線的曲線積分有關。
相當於，萊布尼茲的公式的平面版本：
這是公式的平面版，哈哈看起來和原版有些不同。證明先不說。
1 一般是先通過右式得到P,Q函數，然后求偏導得到左式的二重積分。
2 或者是知道左式，然后令P等於0然后，得知右式。然后去計算。
3 或者是求其證明過程。這是證明過程的一個副產品。
題5
在做題的過程中，把公式寫錯了。導致后面所有的錯誤，切記右邊是，q對x求偏導-p對y求偏導.
題6
做題的時候，把原式轉換成一個曲線積分后，就無法再繼續下去了。其實還可以繼續。
分成多段曲線積分，發現其中兩段為0，實際只需要求一段，根據那一段線的公式，
可以把x,y都用一個變量替換后，來求。
題7
這個求得正確，還不錯。先把要用的格林面積公式推導寫出來，是有用的。
題8
這里就是多元化函數偏導數求錯了，p對y的偏導求錯，q對x偏導數求錯。實際上，
這樣，相等的話后面就很容易得出答案了。這樣才是對的，我的偏導數求錯了。后面導致了錯誤。
但是實際上還可以考慮，經過原點的情況。很難懂，估計要問問人。
還有尋找並且證明曲線積分與路徑無關的條件。
那么首先得思考清楚，什么是路徑無關。
這就是路徑無關，要證明路徑無關，非常容易。把右邊的式子移動到左邊，下標則變成了逆向l2.
於是整個左邊的式子就變成了，封閉曲線的積分，利用格林公式，把封閉曲線積分，轉換成對曲面的
積分，於是得到：（不過這是證明了條件充分性，即路徑無關可以推出該3-5公式）
那要證明，條件的必要性，就讓3-5推導出路徑無關，這里可以用反證法，先讓p對y偏導數-q對x偏導數不等於0。
當然還有全微分的問題。
定理2
證明就先不說了。
推論2
這個證明也就先不說了。
先搞兩道題做一做，感悟一下，這定理和推論。
很明顯，求復合偏導數，還是相當容易出錯的，特別是符號。
然后不知道如何得到u是個問題。我從定理2證明過程中，證明必要性的過程中。
知道了u是可以用兩條直線的積分去求。
但是為什么ab直線的積分為0，bc直線積分是這個。為甚么x0=1 y0=0?
我知道ab為何為0，因為此時y的范圍(0,0)，所以不存在dy，dy=0
二bc直線的積分需要知道1/a^2+x^2的積分是啥，我不知道，所以是積分的基礎不行。
至於從（1，0）開始可能是方便計算，因為不能從 （0，0）開始呀。
