第一類曲線積分與第一類曲面積分
從命名分析：
第一類曲線曲面積分又被稱為對弧長的曲線積分與對面積的曲面積分，這也表明第一類積分實際上是將我們熟悉的定積分（一元定積分與二重積分）中積分區域限定在一定長度的曲線上或一點面積的曲面上。由於曲線與曲面是分段光滑的，被積函數在定義域上是對應足夠連續的，這使得我們處理這類問題時關鍵問題是如何將弧長元素與面積元素轉換為定積分中的\(\mathrm{d}x\)與二重積分中的\(\mathrm{d} \sigma\).
計算公式：
1、關於第一類曲線積分
當使用參數方程描述三維曲線時，\(\Gamma: \{x = x(t); y = y(t); z = z(t)\}\) \(\alpha \leq t \leq \beta\),
弧長元素: \(ds = \sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)+z^{'2}(t)}dt\)
從而在指定區域上的第一類曲線積分可轉換為，計算指定區間(\(\alpha \leq t \leq \beta\))上對一元被積函數\(F(t) = f(x, y, z)\)關於微元\(ds = \sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)+z^{'2}(t)}dt\)的定積分問題。
2、關於第一類曲面積分：
當給定的曲面是關於\(\Sigma : z=z(x,y)\)的顯化表達式時，
面積元素\(dS = \sqrt{1 + z^{'2}_x+z^{'2}_y}d\sigma\)
從而在指定區域上的第一類曲面積分可轉化為，計算指定區域(\(D = Pri_{z=0}\Sigma\))上對二元被積函數\(F(x, y) = f (x, y, z(x, y))\)關於微元\(dS = \sqrt{1 + z^{'2}_x+z^{'2}_y}d\sigma\)的二重積分問題。
第二類曲線積分與第二類曲面積分
從命名分析：
第二類曲線曲面積分又被稱為對坐標的曲線曲面積分，在實際問題上關於空間一點\((x,y,z)\in R^3\)矢量函數\(\vec{A}(x,y,z)\)沿着一定區域的積分結果。在數學上常常將該矢量\(\vec{A}\)的對應分量表示為\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\)他們都是關於位置坐標的函數，從而第二類積分有五種形式，而辨別它們並相互轉化十分重要。
計算公式：
第二類曲線積分：
1、直接計算：
當使用參數方程描述三維曲線時，有：\(\Gamma_{AB}: \{x = x(t); y = y(t); z = z(t)\}\) \(A:t_1, B:t_2\)。
坐標元素: \(dx = x^{'}(t)dt\), \(dy = y^{'}(t)dt\), \(dz = z^{'}(t)dt\)
從而在指定區域上的第一類曲線積分可轉換為，計算指定區間(\(t: t_1 \rightarrow t_2\))上對一元被積函數\(F(t) = Px^{'}(t) + Qy^{'}(t) + Rz^{'}(t)\)關於微元\(dt\)的定積分問題。
2、化成第一類曲線積分:
化作第一類曲線積分時若被積函數變為常數，而積分區域為已知長度的曲線，則利用其物理意義極大簡化運算！
3、Green公式 (對於坐標平面曲線)
\(\int_\Gamma Pdx+Qdy = \iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})d\sigma\)
4、平面上對曲線積分與路徑無關的四個等價條件：
這四個條件為計算第二類曲線積分提供了極大地便利：
(i) 當在積分區域內\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0\), 則對於AB間任意路徑的第二類曲線積分可以用直線或折線代替。
(ii)當被積函數可被觀察為\(du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy\)時，原第二類曲線積分存在牛頓萊布尼茨公式即為：\(I = u(B) - u(A)\)
(iii)當積分區域中存在無定義點，可用曲線\(L\)包圍同一些點並使\(L\)的取向與\(\Gamma\)相同，則有:\(\int_\Gamma = \int_L\)
5、Stokes公式(對於三維空間曲線)
當三維的第二類曲線積分可以通過參數方程解決時，Stokes公式不是最佳方法。但當\(\Gamma = \partial \pi\), \(S(\pi)|cos\gamma| = S(D)\), 且Stokes中被積函數恰為常數時Stokes有一定的優越性。
第二類曲面積分：
1、直接計算（注意符號）：
\(\iint_{\Sigma} R(x,y,z)dxdy = \iint_{D_{xoy}}R(x, y, z(x,y))sgn(\frac{\pi}{2} - \gamma)d\sigma\)
2、化成第一類曲面積分:
化作第一類積分時若被積函數變為常數，而積分區域已知面積大小，則利用其物理意義極大簡化運算！
3、高斯公式:
應當指出，利用高斯公式計算第二類曲面積分可以使直接計算中的二重積分更簡明（因為不需要進行繁瑣的投影與面的方程顯化問題）,因此有時甚至增減曲面使得積分區域封閉從而利用高斯公式。當然增減的曲面常常選平行於坐標面的平面，從而使直接計算平面上的第二類曲面積分比較容易。
函數性質對於計算的簡化
1、單變量對稱性應用：
若在第一類積分中被積函數關於\(x\)為奇函數，積分區域關於\(x=0\)對稱，則該計算結果為0.
若第一類積分中被積函數關於\(x\)為偶函數，積分區域關於\(x=0\)對稱，則該計算結果為兩倍於任意一側的積分值。
注意，第二類曲線積分有同上性質（在對稱區域曲線具有一致的方向），而第二類曲面積分有與上述相反的性質（由於在對稱區域曲面的方向往往相反）。
2、多變量對稱性應用：
若規定的積分區域是關於多變量的輪換對稱，則對於被積函數\(f(x,y,z)\)的積分值等價於\(\frac{1}{2}[f(x,y,z) + f(y,z,x)] = \frac{1}{3}[f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)]\)。更多元的被積函數在更高維的積分區域上同樣滿足這個性質。