曲線積分

曲面積分

第一類曲線積分和第二類曲線積分

第一類曲線積分

\(L\)為\(R^{3}\)中的可求導的長曲線，函數\(f(x,y,z)\)在\(L\)上有定義
習題：
\(\int\limits_{L}|x|^{\frac{1}{3}}ds\)(\(L\):星形線\(x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}\))

第二類曲線積分

第一類曲面積分和第二類曲面積分

第一類曲面積分

設S為可求面積的曲面函數，\(f(x,y,z)\)在\(S\)上面有定義，將其分割為\(S_{1},S_{2},S_{3},\dots,S_{n}\)
在每個小塊曲面上\(S_{j}\)任取一點\(Q_{j}=(\xi_{j},\eta_{j},\zeta_{j})\)

第二類曲面積分

Green公式

\(\int_\limits{\alpha D}Pdx+Qdy=\iint_\limits{D} (\frac{\alpha Q}{\alpha x}-\frac{\alpha P}{\alpha y})dxdy\)

Gauss公式

\(\iiint_{\Omega} (\frac{\alpha P}{\alpha x}+\frac{\alpha Q}{\alpha y}+\frac{\alpha R}{\alpha z})dxdydz\)

Stokes公式

\(\int_\limits{\sum}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\limits{\sum}\)
\(\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\alpha}{\alpha x} & \frac{\alpha}{\alpha y} & \frac{\alpha}{\alpha z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \quad\)