曲线积分

曲面积分

第一类曲线积分和第二类曲线积分

第一类曲线积分

\(L\)为\(R^{3}\)中的可求导的长曲线，函数\(f(x,y,z)\)在\(L\)上有定义
习题：
\(\int\limits_{L}|x|^{\frac{1}{3}}ds\)(\(L\):星形线\(x^{\frac{2}{3}} +y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}\))

第二类曲线积分

第一类曲面积分和第二类曲面积分

第一类曲面积分

设S为可求面积的曲面函数，\(f(x,y,z)\)在\(S\)上面有定义，将其分割为\(S_{1},S_{2},S_{3},\dots,S_{n}\)
在每个小块曲面上\(S_{j}\)任取一点\(Q_{j}=(\xi_{j},\eta_{j},\zeta_{j})\)

第二类曲面积分

Green公式

\(\int_\limits{\alpha D}Pdx+Qdy=\iint_\limits{D} (\frac{\alpha Q}{\alpha x}-\frac{\alpha P}{\alpha y})dxdy\)

Gauss公式

\(\iiint_{\Omega} (\frac{\alpha P}{\alpha x}+\frac{\alpha Q}{\alpha y}+\frac{\alpha R}{\alpha z})dxdydz\)

Stokes公式

\(\int_\limits{\sum}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\limits{\sum}\)
\(\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\alpha}{\alpha x} & \frac{\alpha}{\alpha y} & \frac{\alpha}{\alpha z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \quad\)