I don’t think that anybody can grow unless he really is accepted exactly as he is.
一個人除非真正接受自己，否則他沒法成長。
0.高等數學（11） —— 曲線積分與曲面積分
后台有二重積分和三重積分懵了的疑問，只是我最近有點…忙，本文順便說一下個人理解吧。
（竟然有人會認真看筆記）
0.目錄
1. 高等數學（10）補充1.1 二重積分和三重積分的區別2. 對弧長的曲線積分2.1 對弧長的曲線積分理解2.2 小段直線ds的理解2.3 不用t的曲線積分3. 對坐標的曲線積分3.1 對坐標的曲線積分的理解4. 格林公式4.1 格林公式的理解4.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件5. 對面積的曲面積分5.1 對一個曲面5.2 對面積的曲面積分的理解5.3 對多面體的曲面積分5.4 對坐標的曲面積分
1. 高等數學（10）補充
1.1 二重積分和三重積分的區別
有兩種理解方法，但個人比較好理解【質量問題】。
質量問題的理解：
二重積分：
- 已知一個曲面S的形狀，以及面中每一個點的密度f(x,y)，求這個面的質量M。
- 設每個點的面積為ds = dxdy，則每個點的質量dM：
(dxdy可以理解為超級小的四邊形底x高）
- 整個面的質量就是對所有點的質量積分
三重積分：
- 已知一個空間幾何體的形狀，以及集合體中各點的密度f(x,y,z)，求這個幾何體的質量M。
- 設每個點的體積為dv = dxdydz，則每個點的質量dM：
（dxdydz可以理解為超級小的長方體底x高x寬）
- 整個幾何體的質量就是對所有點的質量積分：
2. 對弧長的曲線積分
2.1 對弧長的曲線積分理解
理解它的意義還是用質量問題來說。
- 已知一條連續曲線弧L的形狀，以及線上每一小段直線的密度f(x,y)，求這條曲線的質量M
- 設線上每一小段直線的長度為ds，則每小段直線的質量dM：
(課本上的ds我真的是理解為長度)
- 則整條曲線弧的質量為對所有小段直線的積分：
2.2 小段直線ds的理解
在課本上，也是直接給了這個
這個可以用高中的運動學理解：
- 裝備着滑翔機的小明被力大無比的小紅從教學樓樓頂水平拋出。
(專業技能，勿模仿) - 最終小明飛行的時間為t，飛行的水平距離為X，垂直高度為Y。
- 飛行時小明的水平速度和豎直速度：
- 根據三角形法則，在任意的t時刻，小明的飛行速度
- 速度微分：
2.3 不用t的曲線積分
只提供公式。
3. 對坐標的曲線積分
凡是說到【對坐標】，統統按第二類處理。
3.1 對坐標的曲線積分的理解
導數有偏導數，積分你能否想想"偏積分"呢？
4. 格林公式
出現了！描邊大師！
這是二重導用曲線積分計算的公式。
4.1 格林公式的理解
- 曲線做功
高中時就有兩種寫法：
- 積分法：
這樣來看：
- 面積法：力所做的功數值上等於曲線與坐標軸所圍成圖形的面積。
注意格林公式的是閉合曲線的積分，我們高中時計算的線積分，是因為物體沿曲線運動后並沒有沿坐標軸運動回來，所以物體沿坐標軸不做功，總功即物體沿曲線上所做的功。
所以必須是閉區域的邊界曲線，應試時一般情況題目都是二重導用曲線積分求，曲線積分轉回二重導來求。總之有圖就好求了。
4.2 平面上曲線積分與路徑無關的條件
這里可以用4.1的理解來看，可以理解為：
電荷在勻強電場中運動，如果運動軌跡為閉合曲線，則其做功為零。
二元函數全微分求積略。
5. 對面積的曲面積分
5.1 對一個曲面
5.2 對面積的曲面積分的理解
將曲面投影到xOy中，該投影作為xy的平面區域，而z則作為z(x,y)高度函數計算二重重導。
一投二代三計算，投dxdy。
5.3 對多面體的曲面積分
分多個曲面積分計算，然后疊加。
5.4 對坐標的曲面積分
就是第二類曲面積分。
一投二代三計算，三次投，分別投（dydz,dzdx,dxdy)