| B樣條方法在表示與設計自由型曲線曲面形狀時顯示了強大的威力，然而 | |
| 在表示與設計初等曲線曲面時時卻遇到了麻煩。因為B樣條曲線包括其特例的 | |
| Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的 | |
| Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。 | |
| 提出NURBS方法，即非均勻有理B樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線 | |
| 曲面的B樣條方法既相統一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數學方法。 | |
| NURBS方法的主要優點： | |
| （1）既為標准解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線 | |
| 曲面的精確表示與設計提供了一個公共的數學形式。 | |
| （2）修改控制頂點和權因子，為各種形狀設計提供了充分的靈活性。 | |
| （3）具有明顯的幾何解釋和強有力的幾何配套技術(包括節點插入、細 | |
| 分、升階等)。 | |
| （4）對幾何變換和投影變換具有不變性。 | |
| （5）非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例。 | |
| 不過，目前應用NURBS中還有一些難以解決的問題： | |
| （1）比傳統的曲線曲面定義方法需要更多的存儲空間，如空間圓需7個參 | |
| 數(圓心、半徑、法矢)，而NURBS定義空間圓需38個參數。 | |
| （2）權因子選擇不當會引起畸變。 | |
| （3）對搭接、重疊形狀的處理很麻煩。 | |
| （4）反求曲線曲面上點的參數值的算法，存在數值不穩定問題。 | |
| 3.4.1 NURBS曲線的定義 | |
| NURBS曲線是由分段有理B樣條多項式基函數定義的： | |
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| 其中，Ri,k(t)（i=0,1,…,n）稱為k階有理基函數，Ni,k(t)是k 階B樣條 | |
| 基函數，Pi（i=0,1,…,n）是特征多邊形控制頂點位置矢量；w i是與Pi對應 | |
| 的權因子，首末權因子w 0，w n>0，其余w i3 0，以防止分母為零及保留凸包 | |
| 性質、曲線不因權因子而退化為一點；節點矢量為T＝[t0, t1, … , ti, …, | |
| 點tn+k]，節個數是m=n+k+1（n為控制項的點數，k為B樣條基函數的階數）。 | |
| 對於非周期NURBS曲線，常取兩端節點的重復度為k，即 | |
有： ，在大多數實際應用中，a =0, |
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b =1。P(t)在 區間上是一個k-1次有理多項式，P(t)在整條曲線上 |
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| 具有k-2階連續性，對於三次B樣條基函數，具有C2連續性。當n=k-1時，k階 | |
| NURBS曲線變成k-1次有理Bezier曲線，k階NURBS曲線的節點矢量中兩端節點的 | |
| 成節點重復度取k+1就使得曲線具有同次有理Bezier曲線的端點幾何性質。 | |
| Ri,k(t)具有k階B樣條基函數類似的性質： | |
| （1）局部支承性：Ri,k(t)=0，t? [ti, ti+k]； | |
（2）權性： ； |
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| （3）可微性：如果分母不為零，在節點區間內是無限次連續可微的，在 | |
| 節點處 (k-1-r)次連續可導，r是該節點的重復度。 | |
| （4）若w i=0，則Ri,k(t)=0； | |
| （5）若w i=+￥ ，則Ri,k(t)=1； | |
| （6）若w j=+￥ ，且j1 i，則Ri,k(t)=0； | |
（7）若w j=1，j=0,1,…,n, 則 是B樣條基函數；若w |
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jj=1，=0,1,…,n，且 則 ，Bi,k(t)是 |
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| Bernstein基函數。 | |
| Ri,k(t)與Ni,k(t)具有類似的性質，導致NURBS曲線與B樣條曲線也具有類 | |
| 似的幾何性質： | |
（1）局部性質。k階NURBS曲線上參數為 的一點 |
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 至多與k個控制頂點Pi及權因子 有關，與其它頂 |
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| 點和權因子無關；另一方面，若移動k次NURBS曲線的一個控制頂點Pi或改變所 | |
聯系的權因子僅僅影響定義在區間 上那部分曲線的形狀 |
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| （2）變差減小性質。 | |
（3）凸包性。定義在非零節點區間 上曲線段 |
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位於定義它的k+1個控制頂點 的凸包內。整條NURBS曲線位於所 |
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| 有定義各曲線段的控制頂點的凸包的並集內。所有權因子的非負性，保證了 | |
| 凸包性質的成立。 | |
| （4）在仿射與透射變換下的不變性。 | |
| （5）在曲線定義域內有與有理基函數同樣的可微性。 | |
（6）如果某個權因子 為零，那么相應控制頂點 對曲線沒有影響。 |
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（7）若 ， 則當時， 。 |
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| （8）非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情 | |
| 況 。 | |
| 3.4.2 齊次坐標表示 | |
| 為了便於討論，我們考慮平面NURBS曲線的情況。圖3.1.34所示，如果給 | |
一組控制頂點 及對應的權因子 |
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則在齊次坐標系xyw中的控制頂點為 。 |
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| 齊次坐標下的k階非有理B樣條曲線可表示為： | |
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| 若以坐標原點為投影中心，則得到平面曲線： | |
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| 三維空間的NURBS曲線可以類似地定義。即對於給定的一組控制頂點 | |
 及對應的權因子 ，則有相應 |
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帶權控制點 ，定義了一條四維的 |
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k階非有理B樣條曲線 ，然后，取它在第四坐標 的超平面上的中心 |
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投影，即得三維空間里定義的一條k階NURBS曲線 。這不僅包含了明確的 |
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| 幾何意義，也說明，非有理B樣條的算法可以推廣到NURBS曲線，只不過是在 | |
| 齊次坐標下進行。 | |
| 3.4.3 權因子的幾何意義 | |
由於NURBS曲線權因子w i只影響參數區間定義在區間 |
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上的那部分曲線的形狀，因此，我們只考察整條曲線的這一部分。如果固定曲線的參數t， 而使變化，則NURBS曲線方程變成以為參數的直線方程，即 |
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| NURBS曲線上t值相同的點都位於同一直線上，如圖3.1.35所示。我們把曲線與 | |
| 有理基函數的記號用用如下包含其權因子為變量的記號替代。因當時 |
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 ， 的，故該直線通過控制頂點 ， |
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分別是 對應曲線上的點，即 ， |
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 ， 。 |
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令 a =Ri,k(t; w i=1 )，b = Ri,k(u) |
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| N，Bi可表示為： | |
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| 用a 、b 可得到下述比例關系： | |
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| 上式是(Pi，Bi，N，B)四點的交比，由此式可知： | |
| （1）若w i增大活減小，則b 也增大或減小，所以曲線被拉向或推離開 | |
| Pi點； | |
| （2）若w j增大或減小，曲線被推離或拉向Pj（j1 i）。 | |
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| 3.4.4 圓錐曲線的NURBS表示 | |
若取節點向量為 ，則NURBS曲線退化為二次Bezier曲線， |
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| 且 |  |
可以證明，這是圓錐曲線弧方程， 稱為形狀因子， 的值 |
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確定了圓錐曲線的類型。 時，上式是拋物線弧， 時， |
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上式是雙曲線弧， 時，上式是橢圓弧。且時，上式 |
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退化為一對直線段 和 ， 時，上式退化為連接 |
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| 兩點的直線段，如圖3.1.36所示。 | |
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| 3.4.5 NURBS曲線的修改 | |
| NURBS曲線的修改有多種方式，常用的方法有修改權因子、控制點和反插 | |
| 節點。 | |
| 1．修改權因子 | |
| 權因子的作用是：當保持控制頂點和其它權因子不變，減少或增加某權因 | |
| 子時，曲線被推離或拉向相應頂點。假定已給k階（k-1）次NURBS曲線上參數 | |
為t的一點S，欲將曲線在該點拉向或推離控制頂點 一個距離d，以得到新點 |
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 ，可由重新確定相應的權因子 使之改變為 來達到，如圖3.1.37所示。 |
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其中， 表示 和 兩點間的距離，d有正負之分，若 在 和 之 |
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間，即曲線被拉向頂點和 ，d為正，反之為負。 |
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修改過程是拾取曲線上一點，並確定該點的參數 ，再拾取 |
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控制多邊形的一個頂點 ，它是k+1個控制頂點 中的一個，即 |
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 ，便可算出兩點間的距離d。若在直線段 上拾取一個點 |
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 ，就能確定替代老權因子 的新權因子 ，修改后的曲線將通過 點。 |
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| 2．修改控制頂點 | |
若給定曲線上參數為 的一點S，方向矢量V和距離d，計算控制頂點 的 |
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新位置 ，以使曲線上S點沿V移動距離d到新位置 。可表示為： |
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| 於是：
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| 由此可得新控制頂點：
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| 3．反插節點 | |
給定控制多邊形頂點 與權因子  及節點矢量 |
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 ，就定義了一條k階NURBS曲線。現欲在該多邊形的  |
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的邊上選取一點 ，使得點成為一個新的控制頂點，這就是所謂反插節點。 |
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| 點可按有理線性插值給出： |
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|
| 於是：
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所以 
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| 這就是使得成為一個新控制頂點而要插入的新節點。 |
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當插入新節點 使成為新控制頂點的同時，將有k-2個老控 |
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| 制頂點被包括在內的新控制頂點所替代，如圖3.1.38所示。 |
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| 3.4.6 非均勻有理B樣條（NURBS）曲面 | |
| 1.NURBS曲面的定義 | |
| 由雙參數變量分段有理多項式定義的NURBS曲面是： | |
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式中 是矩形域上特征網格控制點列， 是相應控制點的權因子，規定 |
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四角點處用正權因子，即 ，其余 。 |
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和 是p階和q階的B樣條基函數， 是雙變量有理基函數： |
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節點矢量 和 按de Boor遞推 |
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| 公式決定，通常具有下面的形式： | |
| p個 q個
p個 q個 |
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| 2.NURBS曲面的性質 | |
| 有理雙變量基函數與非有理B樣條基函數相類似的性質： |
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（1）局部支承性質： ， 當或 |
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 ； |
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（2）權性： ； |
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| （3）可微性：在每個子矩形域內所有偏導數存在，在重復度為r的u節點 | |
| 處沿u向是p-r-1次連續可微，在重復度為r的v節點處沿v向是q-r-1次連續可 | |
| 微； | |
| （4）極值：若p，q>1，恆有一個極大值存在； | |
| （5）是雙變量B樣條基函數的推廣。 |
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| NURBS曲面與非有理B樣條曲面也有相類似的幾何性質，權因子的幾何意義 | |
| 及修改、控制頂點的修改等也與NURBS曲線類似，這里不在贅述。 | |
| 我們已經知道，計算機中表示形體，通常用線框、表面和實體三種模 | |
| 型。線框模型和表面模型保存的三維形體信息都不完整，只有實體模型才能 | |
| 夠完整地、無歧義地表示三維形體。前面我們已經介紹了曲線曲面常用的的 | |
| 表示形式及其理論基礎，從本小節開始，我們介紹實體造型技術的有關問題， | |
| 主要包括形體在計算機內的表示、分類求交算法和典型的實體造型系統。 | |
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