B樣條曲線曲面（附代碼）

1 B樣條曲線

1.1 B樣條曲線方程

B樣條方法具有表示與設計自由型曲線曲面的強大功能，是形狀數學描述的主流方法之一，另外B樣條方法是目前工業產品幾何定義國際標准——有理B樣條方法 (NURBS)的基礎。B樣條方法兼備了Bezier方法的一切優點，包括幾何不變性，仿射不變性等等，同時克服了Bezier方法中由於整體表示帶來不具有局部性質的缺點（移動一個控制頂點將會影響整個曲線）。B樣條曲線方程可表示為

其中，d_i(i=0,1...n)為控制頂點（坐標），N_i,k(i=0,1...n)為k次規范B樣條基函數，最高次數是k。基函數是由一個稱為節點矢量的非遞減參數u的序列U：u₀≤u₁≤...≤u_n+k+1所決定的k次分段多項式。

B樣條的基函數通常采用Cox-deBoor遞推公式：

    (2)

 

式中i為節點序號，k是基函數的次數，共有n+1個控制頂點。注意區分節點和控制頂點，節點是在節點矢量U中取得，控制頂點則是坐標點，決定B樣條的控制多邊形。Cox-deBoor遞推公式是B樣條曲線的定義的核心，該公式在程序中的實現可采用遞歸的方式：

function Nik_u = BaseFunction(i, k , u, NodeVector)
% 計算基函數Ni,k(u),NodeVector為節點向量

if k == 0       % 0次B樣條
    if (u >= NodeVector(i+1)) && (u < NodeVector(i+2))
        Nik_u = 1.0;
    else
        Nik_u = 0.0;
    end
else
    Length1 = NodeVector(i+k+1) - NodeVector(i+1);
    Length2 = NodeVector(i+k+2) - NodeVector(i+2);      % 支撐區間的長度
    if Length1 == 0.0       % 規定0/0 = 0
        Length1 = 1.0;
    end
    if Length2 == 0.0
        Length2 = 1.0;
    end
    Nik_u = (u - NodeVector(i+1)) / Length1 * BaseFunction(i, k-1, u, NodeVector) ...
        + (NodeVector(i+k+2) - u) / Length2 * BaseFunction(i+1, k-1, u, NodeVector);
end

所給程序可用於計算基函數N_i,k(u)的值，程序中對不同類型的B樣條曲線區別在於節點矢量 NodeVector 的取值不同。

 

1.2 B樣條曲線的分類

根據節點矢量中節點的分布情況不同，可以划分4中類型的B樣條曲線。不同類型的B樣條曲線區別主要在於節點矢量，對於具有n+1個控制頂點的 k 次B樣條曲線，無論是哪種類型都具有n+k+2個節點。

均勻B樣條曲線

節點矢量中節點為沿參數軸均勻或等距分布。

對應的節點矢量：

 

准均勻B樣條曲線

其節點矢量中兩端節點具有重復度k+1，即u₀=u₁=...=u_k，u_n+1=u_n+2=...=u_n+k+1，所有的內節點均勻分布，具有重復度1。

對應的節點矢量：

 

分段Bezier曲線

其節點矢量中兩端節點的重復度與類型2相同，為k+1。不同的是內節點重復度為k。該類型有限制條件，控制頂點數減1必須等於次數的正整數倍，即必須滿足 正整數。

對應的節點矢量：

 

一般非均勻B樣條曲線

對任意分布的節點矢量，只要在數學上成立都可選取。

 

這里給出准均勻B樣條和分段Bezier曲線的生成節點矢量的代碼，均勻B樣條的很簡單就不列出了。假設共n+1個控制頂點，k次B樣條，輸入參數為 n, k ，輸出節點矢量到NodeVector中。

 

function NodeVector = U_quasi_uniform(n, k)
% 准均勻B樣條的節點向量計算，共n+1個控制頂點，k次B樣條
NodeVector = zeros(1, n+k+2);
piecewise = n - k + 1;       % 曲線的段數
if piecewise == 1       % 只有一段曲線時，n = k
    for i = n+2 : n+k+2
        NodeVector(1, i) = 1;
    end
else
    flag = 1;       % 不止一段曲線時
    while flag ~= piecewise
        NodeVector(1, k+1+flag) = NodeVector(1, k + flag) + 1/piecewise;
        flag = flag + 1;
    end
    NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = 1;
end

 

function NodeVector = U_piecewise_Bezier(n, k)
% 分段Bezier曲線的節點向量計算，共n+1個控制頂點，k次B樣條
% 分段Bezier端節點重復度為k+1，內間節點重復度為k,且滿足n/k為正整數

if ~mod(n, k) && (~mod(k, 1) && k>=1)   % 滿足n是k的整數倍且k為正整數
    NodeVector = zeros(1, n+k+2);   % 節點矢量長度為n+k+2
    NodeVector(1, n+2 : n+k+2) = ones(1, k+1);  % 右端節點置1
    
    piecewise = n / k;      % 設定內節點的值
    Flg = 0;
    if piecewise > 1
        for i = 2 : piecewise
            for j = 1 : k
                NodeVector(1, k+1 + Flg*k+j) = (i-1)/piecewise;
            end
            Flg = Flg + 1;
        end
    end
    
else
    fprintf('error!\n');
end

 

1.3 B樣條曲線的計算

根據B樣條曲線的定義公式(1)，曲線上任一點坐標值是參數變量u的函數，用矩陣形式表示

     (3)

 

可以看出只要已知控制頂點坐標、曲線的次數 以及基函數，就完全確定了B樣條曲線，其中基函數由Cox-deBoor 公式(2)遞推計算。

 

2 B樣條曲面

2.1 B樣條曲面方程

確定一張次張量積B樣條曲面需要三個信息：

•   給定個控制頂點構成控制網格
•   給定參數和的次數與
•       u向和v向的節點矢量，

定義的次張量積B樣條曲面其方程為：

，B樣條基與分別由節點矢量和按Cox-deBoor遞推公式（2）計算。

B樣條曲面按照沿參數方向u, v所取的節點矢量不同，也可以划分成不同的類型：均勻、准均勻、分片Bezier和非均勻B樣條曲面。

2.2 B樣條曲面的計算

  給定曲面的控制頂點並確定次數后，還需要根據不同類型的B樣條曲面沿參數方向的節點矢量才能完全定義一張B樣條曲面。要計算B樣條曲面上的頂點坐標，首先沿一個參數方向如u向或v向，計算出該方向由控制頂點確定的B樣條曲線，如下圖中的紅色曲線是沿u向生成的二次均勻B樣條曲線，一共有四條。

之后將沿u向計算得到的B樣條曲線上的點作為新的控制頂點，得到張量網格沿v向計算，得到的曲線就是B樣條曲面上的，下圖中綠色線段組成的就是沿v向的控制的頂點，藍顏色的曲線是沿v向的二次均勻B樣條曲線構成了一張二次均勻B樣條曲面。關於B樣條曲面實現的代碼在這里可以下載。

參考文獻:

[1] 施法中. 計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條(修訂版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013.