幾何建模與處理之五 Bezier曲線與B樣條曲線

目錄

• 幾何建模與處理之五 Bezier曲線與B樣條曲線
  • Bezier曲線
    • Bernstein基函數
    • Bezier曲線
    • Bernstein基函數與Bezier曲線的性質
    • De casteljau algorithm
    • 幾何樣條曲線
  • B樣條
    • 樣條曲線的統一表達
      • 基函數
      • B-spline curve
      • The de Boor algorithm

Bezier曲線

建模的兩種形式：

1. 重建（Reconstruction）
   • 逆向工程：形狀已有，要將其“猜”出來
   • 采樣->擬合：需要函數空間足夠豐富（表達能力夠）
   • 代數觀點：{a,b,c}作為基函數的組合權系數
2. 設計（Design）
   • 自由設計：憑空產生，或從一個簡單的形狀編輯得到
   • 交互式編輯：幾何直觀性要好
   • 幾何觀點：基函數{t²,t,1}作為控制點的組合權系數

二次多項式曲線（拋物線）：

\[f(y)=at^2+bt+c\\ \]

使用冪基表示曲線

\[f(t)= \begin {pmatrix} x(t)\\t(t) \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 1\\1 \end {pmatrix}t^2+ \begin {pmatrix} -2\\0 \end {pmatrix}t+ \begin {pmatrix} 1\\0 \end {pmatrix} \]

使用Bernstein基函數表達

\[f(t)= \begin {pmatrix} x(t)\\t(t) \end {pmatrix}= \begin {pmatrix} 1\\0 \end {pmatrix}(1-t)^2+ \begin {pmatrix} 0\\0 \end {pmatrix}2t(t-1)+ \begin {pmatrix} 0\\1 \end {pmatrix}t^2 \]

系數頂點與曲線關聯性強，具有很好的幾何意義，對於交互式曲線設計更直觀.

Bernstein基函數

n次Bernstein基函數：\(B=({B_0^{(n)}, B_1^{(n)},...,B_n^{(n)}})\)

\[B_i^{(n)}=\begin {pmatrix} n\\i \end {pmatrix}t^i(1-t)^{n-i}=B_{i-th basis function}^{(degree)}\\ \begin {pmatrix} n\\i \end {pmatrix}= \begin {cases} \frac {n!}{(n-i)!i!} &for 0 \le i \le n \\ 0 & otherwise \end {cases} \]

性質：

• 對稱性：\(B_i^n(t)=B_{n-1}^n(1-t)\)

• \(B_i^{(n)}\)在\(t=\frac{i}{n}\)達到最大值

用Bernstein基函數所表達的曲線具有非常好的幾何意義

\[f(t)=\sum_{i=1}^n b_i(t)p_i \]

Bezier曲線

n次Berzier曲線：n+1個控制點

\[x(t)=\sum_{i=0}^n B_i^n(t)·b_i \]

Berzier曲線的性質來源於Bernstein基函數的性質。

Bernstein基函數與Bezier曲線的性質

• 正權性：正性+權性

  • \(B_i^{(n)}(t) \ge 0,t\in [0,1]\)
  • \(\sum_{i=1}^n B_i^{(n)}(t) = 1,t\in [0,1]\)

• 基性：B是次數不高於n的多項式集合（空間）的一組基

• 遞推公式：

  • 基函數的遞推公式：\(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t) \quad B_0^0(t)=1,B_i^{(n)}(t)=0\quad for\quad i\notin{0...n}\)
  • 高階的基函數由兩個低階的基函數“升階”得到，利於保持一些良好的性質

• 端點插值性：Bezier曲線經過首位兩個控制頂點

• 導數：

  • \(f'(t)=n\sum_{i=0}^{n-1}B_i^{n-1}(t)(p_{i+1}-p_i)\)
  • \(f^{[r]}(t)=\frac{n!}{(n-r)!}\sum_{i=0}^{n-r}B_i^{n-r}(t)· \Delta ^rp_i\)

  Bezier曲線的端點性質

  • 端點插值：
  • 端點的切線方向與邊相同
  • 端點的2階(k)切線與3點(k+1)相關

• 升階：\((1-t)B_i^n(t)=(1-\frac{i}{n+1})B_i^{n+1}(t)\) => \(tB_i^n(t)=\frac{i+1}{n+1}B_i^{n+1}(t)\)

  Bezier曲線升階：$$f(t)=\sum_{i=0}^{n+1}B_i{n+1}(t)[\frac {n+1-i}{n+1}P_i+\frac{i}{n+1}P_{i-1}]$$

De casteljau algorithm

根據基函數的遞推公式：\(B_i^{(n)}(t)=(1-t)B_i^{(n-1)}(t)+tB_{i-1}^{(n-1)}(t)\)

給定一個t，就能求出x(t)：\(b_i^{(r)}=(1-n)b_i^{r-1}+tb_{i+1}^{(r-1)}\)

幾何樣條曲線

兩Bezier曲線的拼接條件：

C⁰:

G¹：三點共線

C¹：三點共線且等長

C²：\(d^2/dt^2\)為\((p_2-2p_1+p_0),(p_n-2p_{n-1}+p_{n-2})\),陰影三角形相似

構造3次插值Bezier曲線的幾何方法

工程中，在點p_i（0<i<n）處，作p_i-1和p_i+1連線的平行線，取1/6的位置作為控制點。一段曲線由四個點約束。

B樣條

Bezier曲線（Bernstein基函數）存在全局性，不利於設計。

B樣條曲線：分段Bezier曲線，具有局部性。

樣條曲線的統一表達

基函數

均勻結點（Uniform）

\[N_i^1=\begin{cases}1,&i\le t \le i+1 \\0,&otherwise\end{cases}\\ N_i^k=\frac{t-i}{(i+k-1)-i}N_i^{k-1}(t)+\frac{(i+k)-t}{(i+k)-(i+1)}N_{i+1}^{k-1}(t)\\ =\frac{t-i}{k-1}N_i^{k-1}(t)+\frac{i+k-t}{k-1}N_{i+1}^{k-1}(t) \]

非均勻結點（\(t_0<t_1<....<t_n<...t_{n+k}\)）

\[N_{i,1}=\begin{cases}1,&t_i\le t \le t_{i+1} \\0,&otherwise\end{cases}\\ N_{i,k}=\frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}N_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}N_{{i+1},{k-1}}(t)\\ for \quad k > 1\quad i=0...n \]

性質：

• \(N_{i,k}(t)>0\) for \(t_i<t<t_{i+k}\)（局部性）
• \(\sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)=1\) for \(t_{k-1}\le t \le t_{n+1}\) (權性)
• \(N_{i,k}(t)\)在\(t_j\)處是C^k-2

B-spline curve

給定n+1個控制點，\(d_0,...d_n\in R^3\)，\(T=(t_0,...t_{n+k})\)稱為向量節點。

\[x(t)=\sum_{i=0}^nN_{i,k}(t)·d_i \]

每多出一個重結點（Multiple knots），曲線的光滑性降一階。

例如，k=4，n=5的B-spline curve

k重時（0,...,0,1,...,1）為Bernstein基。

The de Boor algorithm