B-spline Curves 學習之B樣條曲線的系數計算與B樣條曲線特例（6）

B-spline Curves: Computing the Coefficients

　本博客轉自前人的博客的翻譯版本，前幾章節是原來博主的翻譯內容，但是后續章節博主不在提供翻譯，后續章節我在完成相關的翻譯學習。

　（原來博客網址：http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/4749586）

　原來的博主翻譯還是很好的，所以前幾章節直接借鑒參考原博主的內容。

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　　盡管de Boor算法是一個計算對應於給定u的B-樣條曲線上的點的標准方法， 我們許多情況下（例如，曲線插值和逼近）真正需要的是這些系數。我們將闡述一個簡單方法來做這個。

　　給定一個由 n+1個控制點P₀, P₁, ..., P_n, 和 m+1個節點 u₀=u₁=...=u_p=0, u_p+1, u_p+2, ..., u_m-p-1, u_m-p=u_m-p+1=...= u_m=1定義的p 次clamped B-樣條曲線。對於任何給定在[0,1]上的 u ，我們想計算系數N_0,p(u), N_1,p(u), ..., N_n,p(u) 。一個簡單方法是使用下列遞推關系：

　　

　　但是這是一個非常耗時的過程。為了計算 N_i,p(u), 我們需要計算 N_i,p-1(u)和N_i+1,p-1(u). 為了計算N_i,p-1(u), 我們需要計算N_i,p-2(u) 和 N_i+1,p-2(u). 為了計算N_i+1,p-1(u), 我們需要N_i+1,p-2(u)和 N_i+2,p-2(u). 如你們所看到的， N_i+1,p-2(u)出現了兩次，因此，遞歸計算會重復。當遞歸繼續深入，會出現更多的重復計算。這與在前頁討論的de Casteljau算法的遞歸版本很相似。因此，計算速度非常慢。

　　有容易的方法。設 u 在節點區間[u_k,u_k+1)上。. B-樣條基函數的重要性質 說明最多 p+1個p 次基函數在[u_k,u_k+1)上非零，即： N_k-p,p(u), N_k-p+1,p(u), N_k-p+2,p(u), ..., N_k-1,p(u), N_k,p(u)。通過定義，在 [u_k,u_k+1)上的0次僅有的非零基函數是N_k,0(u)。結果，從.N_k,0(u)出發計算系數是以一個 "fan-out" 三角形式，如下圖所示：

　　

　　因為在 [u_k,u_k+1)上 N_k,0(u) = 1而其他0次B-樣條基函數在[u_k,u_k+1)上是零，我們可以從 N_k,0(u)開始而計算1次基函數 N_k-1,1(u) 和 N_k,1(u)。從這兩個值，我們可以計算2次基函數 N_k-2,2(u), N_k-1,2(u) 和N_k,2(u)。這個過程重復直到所有p+1 個非零系數計算出來。

　　在這個計算中， “內部”值如 N_k-1,2(u)有一個西北向前驅 (即， N_k-1,1(u))和一個西南向的前驅 (即， N_k,1(u))；上述三角如N_k-1,1(u)的東北方向邊界上的值只有一個西南向前驅 (即， N_k,0(u))；這個三角如 N_k,2(u)的東南方向邊界上的值只有一個西北前驅 (即， N_k,1(u))。因此， 在東北 (resp., 東南)方向邊界上的值使用定義中的遞歸關系的第二 (resp., 第一)項 。只有內部值使用全部兩項。基於這個觀察，我們有下列算法：

　　

　　

　　上述算法不是很有效的算法。它的目的是為了以一個直覺容易理解的方式說明思想。 數組N[ ] 保存所有中間值和最后結果。對一個次數 d, N[i] 保存了N_i,d(u)的值，且，最后，N[k-d], N[k-d+1], ..., N[k] 含有非零系數。計算以 d=1開始因為我們知道僅有的非零基函數是 N_k,0(u)如果 u 在節點區間 [u_k,u_k+1)上。 外循環使得次數 d 從 1到  p。 begin 后面的第一次賦值是僅使用一項(即，三角中的西南項， N_k-d+1,d-1(u))，計算 N_k-d,d(u) ， 內部 for 循環計算 “內部”項，而外循環中最后一個語句僅使用一項(即，三角中的西北項，  N_k,d-1(u)) 計算 N_k,d(u)。

　　你能使這個算法更有效嗎?

 

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B-spline Curves: A Special Case

　　B-樣條曲線：特例

　　如果我們有 2n+2 個節點 u₀ = u₁ = ... = u_n = 0及 u_n+1 = u_n+2 = ... = u_2n+1 = 1 (即，頭 n+1 個是零，而后 n+1是1)， n 次B-樣條基函數是什么？

　　因為每個 u 在 [0,1] = [u_n, u_n+1]上， n 次非零基函數是： N_0,n(u), N_1,n(u), ..., N_n,n(u)。回憶B-樣條基函數的定義如下：

　　

　　因為僅有的 0次非零基函數是N_n,0(u)，下標 i 只能在0 和n之間。因此， u_i是零而 u_i+n和u_i+n+1是1。結果，上邊第二個等式可重寫為如下式： 

　　

　　如果我們進行如前頁討論的那樣以一個三角形式計算N_0,n(u), N_1,n(u), ..., N_n,n(u) ，那么我們有下圖。在該圖中，每個東北(resp., 東南)邊界箭頭意味這乘1-u (resp., u)到在箭頭尾部的項上。注意計算中有n 步驟，每步獲得每列。因此， N_n,0(u) 對 N_0,n(u)的貢獻是 (1-u)ⁿ, 而N_n,0(u)的貢獻對N_n,n(u)是uⁿ.

　　

　　現在，考慮一般項 N_i,n(u)的計算。 N_n,0(u) 對N_i,n(u)計算的貢獻可用"path-counting"技術確定，其用來展示de Casteljau算法的正確 以及貝塞爾曲線的更高次導數的計算中。每個從 N_n,0(u) 到 N_i,n(u) 遇n 箭頭其中i 是東南邊界 而 n-i 是東北邊界。 那些東北(resp., 東南)邊界箭頭意味着對尾部的項乘以1-u (resp., u)。因此，N_n,0(u) 對 N_i,n(u)的貢獻沿着一個單path是 uⁱ(1-u)^n-i 。從 N_n,0(u) 到 N_i,n(u)的paths總數是C(n,i)。更准確地，paths的數目等於放置 i 個東南邊界箭頭在n 個位置不同方法的數目。剩余 n-i 位置用東北邊界箭頭充滿。這 n 個箭頭准確地描述了從 N_n,0(u) 到 N_i,n(u)的一個單路徑（path）。因為每個路徑（path）貢獻  uⁱ(1-u)^n-i 給計算且因為有C(n,i) 個路徑，N_n,0(u) 對 N_i,n(u)的總貢獻是

　　

　　這就是 n次第i個貝塞爾基函數。因此，我們有下列結論：