B-spline Curves 學習之B樣條基函數計算實例（3）

B-spline Basis Functions: Computation Examples

　本博客轉自前人的博客的翻譯版本，前幾章節是原來博主的翻譯內容，但是后續章節博主不在提供翻譯，后續章節我在完成相關的翻譯學習。

　（原來博客網址：http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/4749586）

　原來的博主翻譯還是很好的，所以前幾章節直接借鑒參考原博主的內容。

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1. 簡單節點（Simple Knots ）

　　假設節點向量是U = { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }. 因此, m = 4 和u₀ = 0, u₁ = 0.25, u₂ = 0.5, u₃ = 0.75 及 u₄ = 1。0次（degree）基函數很簡單。 它們分別是定義在節點跨度 [0,0.25,), [0.25,0.5), [0.5,0.75) 和 [0.75,1)上的N_0,0(u), N_1,0(u), N_2,0(u)和N_3,0(u) ,如下圖所示。

　　

　　下表給出了所有的N_i,1(u)：

　　

　　接着展示這些基函數的圖形。因為內節點0.25, 0.5和0.75都是簡單的(即， k = 1) 且p = 1，有p - k + 1 = 1非零基函數和三個節點。 而且， N_0,1(u), N_1,1(u) 和 N_2,1(u)在節點0.25, 0.5 和 0.75分別是C⁰ 連續的。

　　

　　從N_i,1(u)可計算2次基函數。因此m = 4, p = 2, 和 m = n + p + 1，我們有n = 1所以只有兩個2次基函數：N_0,2(u)和 N_1,2(u). 結果見下表：

　　

　　下圖顯示了兩個基函數。三條垂直藍線表示節點位置。注意每個基函數是三個2次曲線段的組合曲線。例如， N_0,2(u) 是綠色曲線，其是定義在[0,0.25), [0.25, 0.5) 和 [0.5,0.75)上的三個拋物線的聯合。這些曲線段連接在一起形成一個光滑的鍾形。請驗證 N_0,2(u,) (resp., N_1,2(u)) 在節點 0.25 和 0.5 (resp., 0.5 和 0.75)是 C¹ 連續的。如前頁所提到的，在節點處，這個復合曲線是C¹ 連續的。

　　

2. 帶正重復度的節點

　　如果一個節點向量包含有正重復度的節點，我們會遇到 0/0的情況，后面會遇到。因此我們定義 0/0 等於0。 幸運的是，這只用於手工計算的情況。對計算機實現，有個有效的算法，不受這個問題影響。如果u_i 是重復度 k 的節點(即u_i = u_i+1 = ... = u_i+k-1), 那么節點區間[u_i,u_i+1), [u_i+1,u_i+2), ..., [u_i+k-2,u_i+k-1) 不存在，結果是，N_i,0(u), N_i+1,0(u), ..., N_i+k-1,0(u) 都是零函數。

　　考慮節點向量 U = { 0, 0, 0, 0.3, 0.5, 0.5, 0.6, 1, 1, 1 }. 因此，0 和1 是重復度3 (即， 0(3)和  1(3)) 而 0.5 是重復度2 (即， 0.5(2)). 結果是， m = 9而節點分配是

　　

　　現在計算 N_i,0(u)。 注意因為 m = 9 且 p = 0 ( 0 次基函數), 我們有n = m - p - 1 = 8。如下表所示，只有四個0次非零基函數： N_2,0(u), N_3,0(u), N_5,0(u) 和 N_6,0(u).

　　

　　然后，我們繼續計算1次基函數。因為 p 為 1, n = m - p - 1 = 7. 下表顯示了結果：

　　

　　下圖顯示了這些基函數的圖形。

　　

　　讓我們看一個特別的計算，比如N_1,1(u). 。它使用下式計算的：

　　

　　將u₁ = u₂ = 0 和 u₃ = 0.3 代入這個方程產生下式：

　　

　　因為 N_1,0(u) 到處為零，第一項是0/0 因此被定義為零。因而，只有第二項對結果有影響。因為 N_2,0(u) 在 [0,0.3)上是1， N_1,1(u) 在 [0,0.3)上是1 - (10/3)u  。

　　接着，讓我們計算所有的N_i,2(u)。因為 p = 2, 我們有 n = m - p - 1 = 6。下表包含了所有的N_i,2(u):

　　

　　下圖顯示了所有2次基函數。

　　

　　讓我們選一個典型的計算作為例子，如N_3,2(u)。計算式是下式：

　　

　　代入 u₃ = 0.3, u₄ = u₅ = 0.5 和 u₆ = 0.6得到

　　

　　因為 N_3,1(u) 在 [0.3, 0.5)上非零且等於5u - 1.5，(5u - 1.5)² 是N_3,2(u) 在[0.3, 0.5)上的非零部分。因為N_4,1(u) 在 [0.5, 0.6)上非零且等於6 - 10u, (6 - 10u)² 是 N_3,2(u) 在[0.5, 0.6)上的非零部分。

　　讓我們研究在節點0.5(2)處的連續問題。因為它的重復度是2 且這些基函數的次數是 2, 基函數 N_3,2(u) 在0.5(2)處是C⁰ 連續的。這就是為什么N_3,2(u) 在0.5(2)處有個尖銳的角。對不在兩個端點處的節點，例如 0.3,保持了 C¹ 連續性因為它們都是簡單節點。

 

 

 

和N_3,0(u) ,如下圖所示。