B樣條基函數的定義和性質

定義：令U={u₀,u1,…,u_m}是一個單調不減的實數序列，即u_i≤u_i+1，i=0，1，…，m-1。其中，u_i稱為節點，U稱為節點矢量，用N_i,p(u)表示第i個p次（p+1階）B樣條基函數，其定義為

 

由此可知：

（1）N_i,0(u)是一個階梯函數，它在半開區間u∈[u_i,u_i+1)外都為零；

（2）當p>0時，N_i,p(u)是兩個p-1次基函數的線性組合；

（3）計算一組基函數時需要事先制定節點矢量U和次數p；

（4）定義式中可能出現0/0，我們規定0/0=0；

（5）N_i,p(u)是定義在整個實數軸上的分段多項式函數，但我們一般只對它在區間[u₀,u_m]上的部分感興趣；

（6）半開區間[u_i,u_i+1)稱為第i個節點區間（knot span），它的長度可以為零，因為相鄰節點可以是相同的；

（7）計算p次基函數的生成過程生成一個如下形式的三角形陣列：

為了書寫方便，我們通常將N_i,p(u)寫為N_i,p。

性質：

（1）（局部支撐性）如果u∉[u_i,u_i+p+1)，則N_i,p(u)=0。

（2）在任意給定的節點區間[u_j,u_j+1)內，最多p+1個N_i,p是非零的，它們是N_j-p,p，…，N_j,p。

（3）（非負性）對於所有的i，p和u，有N_i,p(u)≥0。

（4）（規范性）對於任意的節點區間[u_i,u_i+1)，當u∈[u_i,u_i+1)時

（5）（可微性）在節點區間內部，N_i,p(u)是無限次可微的。

（6）除p=0的情況外，N_i,p(u)嚴格地達到最大值一次。

以上結論出自：《非均勻有理B樣條》第2版。