B-spline Curves 學習前言與動機（1）

B-spline Curves 學習之前言

　本博客轉自前人的博客的翻譯版本，前幾章節是原來博主的翻譯內容，但是后續章節博主不在提供翻譯，后續章節我在完成相關的翻譯學習。

　（原來博客網址：http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/4749586）

　原來的博主翻譯還是很好的，所以前幾章節直接借鑒參考原博主的內容。

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 　B-spline Curves Notes

　　本 教程是關於B-樣條曲線（B-spline Curves）的教程。B-樣條曲線在計算機視覺(computer vision )，計算機圖形學（Computer Graphics ），計算機輔助設計（Computer-Aided Design ），計算幾何（Computational Geometry ） ，可視化（Visualization）等許多領域有着廣泛應用。

        本教程翻譯自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分B-spline Curves。（C.-K. Shene博士是a Professor at  Department of Computer Science ，Michigan Technological University）。

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1. B樣條曲線——動機

　考慮設計一個花瓶的剖面圖。下圖左邊是11次（degree）的貝塞爾曲線；但是它很難彎曲瓶頸到線段 P4P5。當然，我們可以在這個線段附近增加控制點來增加該區域的權重。但是這會增加曲線的次數（degree）。許多情況下，不值得使用如此高次 （degree）的多項式。

　　

　　  如前面討論過的貝塞爾曲線的導數 ，我們可以將兩個貝塞爾曲線連接起來。只要第一條曲線的最后一段和第二條曲線的第一段有相同方向，我們至少可以獲得 G¹ 連續性，因為切向量有相同方向但可能有不同的長度（即，如果長度相同，它就是C¹ 連續的）。上邊中間圖使用了這個思想。它有3個3次貝塞爾曲線段，連接點用黃色矩形框標記。這說明有滿足 G¹ 連續條件的多重低階貝塞爾曲線段，我們可以設計出復雜形狀。但是，保持 G1 連續條件會是乏味和不受歡迎的。

　　 有沒有可能我們仍用更低階曲線段而不用考慮 G¹ 連續條件?

　　B-樣條曲線是貝塞爾曲線的推廣且正是為了解決這個問題的。上邊右圖是一個8控制點的3次B-樣條曲線。實際上，由5條3次貝塞爾曲線段連接起來形成了由 控制點定義的B-樣條曲線。 上圖中，那些小點把B-樣條曲線划分為貝塞爾曲線段。可以像貝塞爾曲線那樣移動控制點來修改曲線的形狀。我們也可以修改曲線的細分 （subdivision）。因此B-樣條曲線有更高階曲線設計的自由度。

　　直接細分（Subdividing）曲線是很困難的。因此，我們細分曲線的定義域。因此，如果曲線的定義域是[0,1]，這個閉區間被稱為節點（knots）的點細分而成。設這些節點是 0 <= u₀ <= u₁ <= ... <= u_m <= 1。那么點C(u_i)的曲線細分如下圖所示，因此，修改[0,1]的細分會改變曲線的形狀。

　　

　　總之，為了設計一個B-樣條曲線，我們需要一系列的控制點，一系列的節點和一系列的系數，每個系數對應一個控制點，所以所有曲線段連接在一起滿足某個連續 條件。系數的計算可能是最復雜的步驟因為它們必須保證某個連續條件。幸運的是，這個計算在本課程中不需要。我們只需要知道相關特性用於B-樣條曲線的推理就可以了。