B-spline Curves 學習之B樣條曲線的移動控制點、修改節點分析（7）

B-spline Curves: Moving Control Points

　本博客轉自前人的博客的翻譯版本，前幾章節是原來博主的翻譯內容，但是后續章節博主不在提供翻譯，后續章節我在完成相關的翻譯學習。

　（原來博客網址：http://blog.csdn.net/tuqu/article/details/4749586）

　原來的博主翻譯還是很好的，所以前幾章節直接借鑒參考原博主的內容。

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　　B-樣條曲線：移動控制點

　　移動控制點是改變B-樣條曲線形狀的最明顯的方法。在前面頁討論的局部修改方案說明了修改控制點 P_i 的位置僅影響在區間[u_i, u_i+p+1)上的曲線 C(u) 。其中 p 是B-樣條曲線的次數。實際上，形狀的改變是在控制點被移動方向上的 t平移 。更准確地，如果控制點P_i向某個方向移動到一個新位置Q_i ，那么點C(u)，其中 u 在[u_i, u_i+p+1)上，會以相同方向從P_i 移動到 Q_i。 但是，移動的距離點與點之間是不同的。下圖中，控制點 P₄ 從左圖位置移到中圖新位置最后到右圖最終位置。可看到那些對應節點的點（小三角標記）也以相同方向移動。

　    

　　讓我們看些細節。假設C(u) 是一個給定的p 次B-樣條曲線定義如下：

　　

　　設控制點 P_i 被移動到一個新位置P_i + v. 。那么，新 p 次B-樣條曲線 D(u)如下：

　　

　　因此，新曲線D(u)是簡單的原始曲線C(u)的和以及一個平移向量N_i,p(u)v。 因為 N_i,p(u)在區間 [u_i,u_i+p+1)上非零，如果u 不在該區間，這個“平移”項為零。因此，移動一個控制點僅影響給定曲線部分形狀。 下面左曲線是個由13個控制點 control points (即， n = 12)和18個節點(即， m = 17)定義的4次 (即， p = 4)B-樣條曲線 。這些18個節點都是簡單的並定義了一個clamped曲線(即，u₀ = u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = 0 和 u₁₃ = u₁₄ = u₁₅ = u₁₆ = u₁₇ = 1)。剩余的節點定義了9個節點區間，因此如圖所示有9個曲線段。這9個節點區間和曲線段命名如下：

　　

　　  

　　現在讓我們移動 P₆。結果顯示在上面右圖。如你們所看到的，曲線以同樣方向移動。P₆ 的系數是 N_6,4(u), 其在[u₆, u₁₁)上非零。因此，移動 P₆ 影響曲線段3, 4, 5, 6 和7。曲線段1, 2, 8和9不受影響。

　　來自強凸包性質的有用結果

　　回憶 強凸包性質，如果u位於 [u_i,u_i+1)，那么 C(u) 位於由控制點P_i, P_i-1, ..., P_i-p+1, P_i-p定義的凸包內。這有助於幫助我們進行下列設計任務：

（1）強制曲線段變成直線段：讓p+1 相鄰控制點共線。

　　如果 u 位於節點區間 [u_i,u_i+1)上，那么C(u) 位於由 p+1個控制點P_i, P_i-1, ..., P_i-p+1, P_i-p定義的凸包內。因為這對所有在該區間的u 都成立，所以在該節點區間的曲線段完全位於該凸包內。如果所有這些 p+1 個控制點是共線的(即，在一條直線上)，凸包退化到線段，它所包含的曲線段也是如此。 結果，在節點區間 [u_i,u_i+1)上的曲線段變成了直線段。注意在這個情況下只有這個曲線段變成了直線段。其他曲線段仍然是非線性的。

　　

　　讓我們來看一個例子。上面的圖由 n = 15 (即，16個控制點), p = 3 (次數為3) 和m = 19 (即，20個節點)。注意頭四個和最后四個節點是clamped。圖 (a)是給定的B-樣條曲線。 讓我們使得P₉, P₈, P₇ 和P₆ 共線。因此，在 [u₉,u₁₀)上的曲線段位於由 P₉, P₈, P₇ 和P₆定義的凸包內。 因為這個凸包是直線段，所以曲線段也必須是直線段。記住頭四個節點是clamped因此頭三個節點區間不存在。因為[u₉,u₁₀)是第7個節點區間，第7段退化為直線段P₇P₈。這通過圖 (b), (c) 和 (d)說明。

　　但是，為什么在 [u₉,u₁₀)上的曲線段只退化到曲線段? 看圖(b)。陰影部分區域是 u 剛要進入enters [u₉,u₁₀)前的凸包。這個凸包由控制點 P₈, P₇, P₆ 和 P₅定義，其還不是一條直線段。 一旦 u 進入[u₉,u₁₀)，曲線段退化  (圖 (c)).在u 離開[u₉,u₁₀)的同時，出現了一個新的凸包(圖(d))。

　　圖 (e) 有 P₅ 及其四個后繼共線。該曲線包含多於一個直線段。 圖 (f) 有 P₁₀ 和它的5個后繼共線；但是，它被移動到P₈ 和 P₉之間的位置。這導致相應曲線段的部分成為一條直線（為什么？）

（2）強制B-樣條曲線經過一個控制點：讓p個相鄰控制點重合（identical ）

　　考慮控制點P_i。因為在節點區間 [u_i, u_i+1)上的曲線段完全位於由P_i, ..., P_i-p+1,P_i-p定義的凸包內，如果我們使得前p 個控制點重合(即， P_i = P_i-1 = ... = P_i-p+1)，凸包退化為一條直線段, P_i-pP_i 而曲線必經過P_i。

　　    

　　上面左圖的曲線是3次的。如果 P₅ 移到與 P₆重合，曲線也移動更接近 P₆ 但還沒有經過它。這如中圖所示。注意曲線段的數目沒有因為這個移動而改變；但是 P₅ 附近的小三角標記移動到更接近 P₆。 如果 P₄ 被移到與P₆ = P₅ 重合，曲線經過P₆ 且對應於節點的點因為移動而與控制點P₄ 重合。

（3） 強制B-樣條曲線與控制折線的一邊相切：讓P_i-p, P_i-p+1 = P_i-p+2 = .... = P_i-1 = P_i 及P_i+1 共線

　　上面將 p 個相鄰控制點重合。在那個控制點上，連續性是C⁰ 因為曲線有一個尖頭（見上面右圖）。 但是，一個B-樣條曲線在簡單節點上是 C^p-1 在其他空間是無限可微的，在邊P_i-pP_i 上的控制點 P_i 上的曲線是C^p-1 連續的（退化控制點重新編號為i）而在邊P_iP_i+1 上的控制點P_i 也是 C^p-1 連續的。因此，如果我們使得 P_i-p, P_i 和 P_i+1 共線，只要兩個相鄰曲線段在該節點上沒有尖頭，它們在 P_i是C^p-1 連續的。

　　  

　　在上面圖中，曲線的次數是 2。如果我們使得控制點2, 3, 4 和 5 共線而 3 和 4 重合，我們得到右圖。共線保證了曲線段位於直線上而重合控制點強制 C^3-1 = C² 連續。

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B-spline Curves: Modifying Knots

 

　　B-樣條曲線：修改節點

　　因為B-樣條曲線是許多曲線段的組合，每個定義於一個節點區間上，修改一個或多個節點位置會改變相應的曲線段和節點區間，因此改變曲線的形狀。

　　下圖描述了修改一個單節點的效果。它是一個6次B-樣條曲線，有17個節點，最前7個和最后7個在端點上是clamped，而內部節點是0.25, 0.5 和 0.75。初始曲線在左圖顯示。如果節點0.25 移動到0.1，曲線的形狀改變，原來的C(0.25)向下移動到一個新位置。如果節點0.5移動到 0.1使得節點0.1變成一個雙重節點 (重復度2)，曲線的形狀移動到左邊；但是C(0.1) 向上移動到接近原始點(即，原來的 C(0.25))的位置。結果顯示在右圖。盡管我們在 0.1 有一個雙重節點以及在0.75另一個節點非均勻地將定義域[0,1] 划分成三個節點區間，B-樣條曲線被它們相應點幾乎均勻地划分。

　　    

　　下圖顯示了三條曲線的形狀的改變，每個由 10 (n=9)個控制點定義，次數是6。它們內部節點向量是 (0.25,0.5,0.75) - 紅色曲線， (0.25,0.25,0.75) - 藍色曲線， (0.25,0.25,0.25) -黑色曲線。

　　

　　實際經驗告訴我們修改節點位置不僅不可預測而且不令人滿意。更准確地說，因為不清楚B-樣條曲線會對節點向量的改變作怎樣的反應，通過改變節點來修改B-樣條曲線 通常都不令人滿意而且很難達到設計目的。

　　關於多重節點的評注

　　多重節點對產生期望的結果有幫助。回憶前面討論的多重節點的性質，增加一個內部節點的重復度會減小在該節點的非零基函數的數目。實際上，如果該節點的重復度是 k, 最多在該節點上有 p - k + 1 個非零函數。而且，在該節點的基函數是C^p-k 連續的。

　　假設一個節點有重復度 p-k,在該節點上有k+1 個非零基函數且曲線上的相應點位於由控制點（與那些非零基函數相對應）定義的凸包內。如果 k = p - 1, 有兩個非零函數而相應的凸包是直線段。

　　如果 k = p, 只有一個非零基函數在該節點上，只有一個控制點有非零系數。結果，曲線通過該點。

　　

　　上面圖 (a)，顯示了一個5次B-樣條曲線，相對應於標記的節點點的節點移動到它前面的節點，構建了一個重復度2的節點。結果在圖 (b), 其與原始圖沒有太大差別。然后，下一個節點 (用矩形框標記)也被移動到產生的節點 ，構建了一個重復度3的節點。產生的曲線朝控制折線的一條邊移動。再移動一個節點構建一個重復度4的新節點。這使得相應的點（橢圓標記）位於一條邊上。最 后，僅剩的一個節點移到與其它節點結合起來。由於它的重復度是5而 p=5, 只有一個非零系數因此使得曲線通過該控制點。如圖(e)所示，該控制點是P₅ 。