微積分基本定理的例子——曲面積分

關於數學的文章主要挑的都是核心和有意思的應用數學部分，如有不懂說明自己需要好好自學一下
數學公式的編輯很麻煩，希望可以讓讀者和自己都感到滿意吧（如果真的有的話）
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統一的微積分基本定理(The Unifying Fundamental Theorem)

微分的算子對在一個區域上的場作用后的積分
等於分配該算子在區域邊界上的場分量的和。

The integral of a differential operator acting on a field over a region
equals the sum of the field components appropriate to the operator over the boundary of the region.

曲面積分

曲面方程：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|r_u\times r_v|dudv\)
將x，y做參量的曲面方程：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(x,y,f(x,y))\sqrt{{f_x'}^2+{f_y'}^2+1}dxdy\)

方向性

若在平滑曲面\(S\)上的一個單位法向量域\(n\)隨位置連續變換，我們稱這個平滑曲面\(S\)為可定向的(orientable)或雙面的(two-sided)。一旦選擇了\(n\)，我們稱我們已經定向了此曲面，且我們稱此曲面和它的法向量域為一個有向曲面。在任意點處的向量\(n\)被稱作此點的正向。

通量的曲面積分

以方向\(n\)穿過一個有向曲面\(S\)的一個三維向量域\(F\)的通量為

\[Flux=\iint_{S}F\cdot nd\sigma \]

此方程與穿過平面曲線\(C\)的二維向量域\(F\)的通量定義相似

\[Flux=\int_{C}F\cdot nds \]

此通量為垂直於曲線的\(F\)的標量分量的積分。

因為\(F\)可以是速度場，電場，磁場，故\(Flux\)稱之為通量，而非流量\(flow\)。\(Flux\)是\(flow\)的拉丁文寫法。

ChangeLog

• 11月24日 13:12 寫了一會兒有點困。先睡了。
• 11月24日 18:55 此文差不多寫完了。