微积分基本定理的例子——曲面积分

关于数学的文章主要挑的都是核心和有意思的应用数学部分，如有不懂说明自己需要好好自学一下
数学公式的编辑很麻烦，希望可以让读者和自己都感到满意吧（如果真的有的话）
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统一的微积分基本定理(The Unifying Fundamental Theorem)

微分的算子对在一个区域上的场作用后的积分
等于分配该算子在区域边界上的场分量的和。

The integral of a differential operator acting on a field over a region
equals the sum of the field components appropriate to the operator over the boundary of the region.

曲面积分

曲面方程：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|r_u\times r_v|dudv\)
将x，y做参量的曲面方程：\(\iint\limits_{S}G(x,y,z)d\sigma = \iint\limits_{R} G(x,y,f(x,y))\sqrt{{f_x'}^2+{f_y'}^2+1}dxdy\)

方向性

若在平滑曲面\(S\)上的一个单位法向量域\(n\)随位置连续变换，我们称这个平滑曲面\(S\)为可定向的(orientable)或双面的(two-sided)。一旦选择了\(n\)，我们称我们已经定向了此曲面，且我们称此曲面和它的法向量域为一个有向曲面。在任意点处的向量\(n\)被称作此点的正向。

通量的曲面积分

以方向\(n\)穿过一个有向曲面\(S\)的一个三维向量域\(F\)的通量为

\[Flux=\iint_{S}F\cdot nd\sigma \]

此方程与穿过平面曲线\(C\)的二维向量域\(F\)的通量定义相似

\[Flux=\int_{C}F\cdot nds \]

此通量为垂直于曲线的\(F\)的标量分量的积分。

因为\(F\)可以是速度场，电场，磁场，故\(Flux\)称之为通量，而非流量\(flow\)。\(Flux\)是\(flow\)的拉丁文写法。

ChangeLog

• 11月24日 13:12 写了一会儿有点困。先睡了。
• 11月24日 18:55 此文差不多写完了。