求a,b的值,使得lim(x->0)1/bx-sinx*∫t^2/√(a+t)dt=1{∫上面為x,下面為0}
應用洛必達法則
原式=lim(x->0)x^2/√(a+x)*(b-cosx)
因x趨近於0,x^2趨近於0,而極限為1
故b-cosx趨近於0,b=1
代入得lim(x->0)x^2/√(a+x)*(b-cosx)=lim(x->0)x^2/√(a+x)*(1-cosx)=lim(x->0)x^2/√(a+x)*(1/2)x^2=lim(x->0)2/√(a+x)=2/√a=1,a=4
原式=lim(x->0)x^2/√(a+x)*(b-cosx)
因x趨近於0,x^2趨近於0,而極限為1
故b-cosx趨近於0,b=1
代入得lim(x->0)x^2/√(a+x)*(b-cosx)=lim(x->0)x^2/√(a+x)*(1-cosx)=lim(x->0)x^2/√(a+x)*(1/2)x^2=lim(x->0)2/√(a+x)=2/√a=1,a=4
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確定常數a,b,c的值,使lim(x-0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c
后面那個積分的下界是x，上界是b
后面那個積分的下界是x，上界是b
首先x->0時,ax-sinx趨於0,
因此需要
定積分 [下界是x,上界是b] ∫ ln﹙1+t³﹚/t dt 也等於0,
所以x->0時,b也等於0,
再使用洛必達法則對分子分母同時求導,
原極限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x] （注意x是下界,求導會有這個負號）
若要極限存在,顯然分子分母都要為0,
即a=cos0=1,
而在x趨於0時,ln(1+x³)等價於x³,
即[-ln(1+x³)/x] 等價於 -x³/x= -x²,
所以
原極限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x]
=lim(x-0) (1-cosx)/( -x²)
在x趨於0時,1-cosx趨於0.5x²
故原極限= lim(x-0) 0.5x²/( -x²)
= -0.5
即a=1,b=0,c= -0.5
因此需要
定積分 [下界是x,上界是b] ∫ ln﹙1+t³﹚/t dt 也等於0,
所以x->0時,b也等於0,
再使用洛必達法則對分子分母同時求導,
原極限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x] （注意x是下界,求導會有這個負號）
若要極限存在,顯然分子分母都要為0,
即a=cos0=1,
而在x趨於0時,ln(1+x³)等價於x³,
即[-ln(1+x³)/x] 等價於 -x³/x= -x²,
所以
原極限= lim(x-0) (a-cosx) / [-ln(1+x³)/x]
=lim(x-0) (1-cosx)/( -x²)
在x趨於0時,1-cosx趨於0.5x²
故原極限= lim(x-0) 0.5x²/( -x²)
= -0.5
即a=1,b=0,c= -0.5
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