極限

本文轉載自查看原文 2022-04-05 21:11 764 微積分

極限的基本概念
- 數列極限
- 函數極限
  - 定義
    - 自變量趨於有限值時的極限
    - 自變量趨於無窮大時的極限
  - 性質
無窮小與無窮大
- 無窮小
- 無窮大
極限運算法則
極限存在准則及兩個重要極限

極限的基本概念

數列極限

定義

如果對於任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在正整數 $N$ ,當 $n>N$ 時,恆有$\mid x_n-a \mid < \varepsilon$ 成立,則稱常數 $a$ 為數列 $\{x_n\}$ 當 $n$ 趨近於無窮時的極限,記為 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a$或 $x_n\rarr a(n \rarr \infty)$ .

對於定義的進一步理解:

$\varepsilon$ 是用來刻畫 $x_n$ 與 $a$ 的接近程度,$N$ 用來刻畫 $n \rarr \infty$ 這個極限過程

$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a$的幾何意義是:對於 $a$ 點的任何 $\varepsilon$ 領域,一定存在 $N$ ,當 $n>N$ 時,所有的 $x_n$ 都落在該 $\varepsilon$ 區間內,並且只有有限個在這個區間外.

數列 $\{x_n\}$ 的極限是否存在,以及如果存在該極限值等於多少均與數列的前有限項無關.

性質

定理一(極限的唯一性): 如果數列 $\{x_n\}$ 收斂,那么它的極限唯一
定理二(收斂數列的有界性): 如果數列 $\{x_n\}$ 收斂,那么數列 $\{x_n\}$ 一定有界
定理三(收斂數列的保號性): 如果 $\lim\limits_{n \to \infty}=a$ ,且 $a>0$ (或 $a<0$ ),那么存在正整數 $N$ ,當 $n>N$ 時,都有 $x_n>0$ (或 $x_n<0$ )
- 推論: 如果數列 $\{ x_n \}$ 從某項起有 $x_n \geqslant0$ (或 $x_n \leqslant 0$ ),且 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a$ ,那么 $a \geqslant 0$ (或 $a \leqslant 0$ ).

關於定理三的探究:

為什么定理三中的 $a$ 必須要$>0$,而不是 $\geqslant 0$ ?

如果 $a=0$ ,那么根據數列極限的定義,總存在 $N>0$ , 使得當 $n>N$ 時有 $\mid x_n \mid < \varepsilon$ ,顯然此時 $x_n$ 可以落在零點的左側,這導致"$x_n>0$始終成立"這個結論不成立.

為什么推論中的 $a$ 必須要 $\geqslant0$ ,而不是 $>0$ ?

假設推論中的 $a>0$, 反例: $x_n=\frac{1}{n}$ ,顯然對於任意的 $x_n$ 都滿足 $x_n\geqslant 0$的條件, 而此時 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0$ ,可以取到 $0$,與之矛盾.

定理四(收斂數列與其子數列間的關系): 如果數列 $\{x_n\}$ 收斂於 $a$ ,那么它的任一子數列也收斂,且極限也是 $a$ .
- 推論: 如果數列 $\{x_n\}$ 有兩個子序列收斂於不同的極限,那么數列 $\{x_n\}$ 必定發散.

常用結論

$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a \iff \lim\limits_{k \to \infty}x_{2k-1}= \lim\limits_{k \to \infty}x_{2k}=a $ (根據收斂數列與其子數列的關系可以推出)
$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a \implies \lim\limits_{n \to \infty} \mid x_n \mid=\mid a \mid$ (根據定義以及絕對值不等式可以推出)
$\lim\limits_{n \to \infty}x_n=0 \iff \lim\limits_{n \to \infty}\mid x_n \mid =0$ (根據定義可以直接推出)
上面兩條在函數極限中同樣適用

函數極限

定義

自變量趨於有限值時的極限

若對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $\delta>0$ ,當 $0<\mid x- x_0 \mid < \delta$ 時,恆有 $\mid f(x)-A \mid<\varepsilon$ ,則稱常數 $A$ 為函數 $f(x)$ 當 $x \to x_0$ 時的極限,記為 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$ .

對定義的進一步理解

$\varepsilon$ 是用來刻畫 $f(x)$ 與 $A$ 的接近程度, $\delta$ 是用來刻畫 $x \to x_0$ 這個極限過程的

幾何意義:對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $\mathring{U}(x_0, \delta)$ ,當 $x\in \mathring{U}(x_0,\delta)$ 時,曲線 $y=f(x)$ 夾在兩直線 $y=A-\varepsilon$ 和 $y=A+\varepsilon$ 之間.

這里 $x \to x_0$ ,但 $x\neq x_0$ .極限 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 是否存在,如果存在極限值等於多少與 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處有沒有定義,如果有定義函數值等於多少無關,只與 $x=x_0$ 的去心領域的函數值有關.而要使 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在, $f(x)$ 必須在 $x=x_0$ 的某去心領域 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 處處有定義.

若對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $\delta>0$ ,當 $x_0-\delta<x<x_0$ 時,恆有 $\mid f(x)-A \mid<\varepsilon$ ,則稱常數 $A$ 為函數 $f(x)$ 當 $x \to x_0$ 時的左極限,記為

\[\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=A,或f(x_0^-)=A,或f(x_0-0)=A \]

若對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $\delta>0$ ,當 $x_0<x<x_0+\delta$ 時,恆有 $\mid f(x)-A \mid<\varepsilon$ ,則稱常數 $A$ 為函數 $f(x)$ 當 $x \to x_0$ 時的右極限,記為

\[\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=A,或f(x_0^+)=A,或f(x_0+0)=A \]

自變量趨近於有限值的極限存在的充要條件:
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A \iff \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=A$

自變量趨於無窮大時的極限

若對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $X>0$ ,當 $\mid x\mid>X$ 時,恆有 $\mid f(x)-A \mid < \varepsilon$ ,則稱常數 $A$ 為 $f(x)$ 當 $x \to \infty$ 時的極限,記為 $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=A$.

對定義的進一步理解

$\varepsilon$ 是用來刻畫 $f(x)$ 與 $A$ 的接近程度, $X$ 是用來刻畫 $x \to \infty$ 這個極限過程的

幾何意義:對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $X>0$ ,當 $\mid x \mid >X$ 時,曲線 $y=f(x)$ 夾在兩直線 $y=A-\varepsilon$ 和 $y=A+\varepsilon$ 之間.

這里的 $x \to \infty$ 是指 $\mid x \mid \to +\infty$ ;而數列極限中的 $n \to \infty$ 指的是 $n \to +\infty$

若對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $X>0$ ,當 $ x>X$ 時,恆有 $\mid f(x)-A \mid < \varepsilon$ ,則稱常數 $A$ 為 $f(x)$ 當 $x \to +\infty$ 時的極限,記為 $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=A$.
若對任意給定的 $\varepsilon>0$ ,總存在 $X>0$ ,當 $ x<-X$ 時,恆有 $\mid f(x)-A \mid < \varepsilon$ ,則稱常數 $A$ 為 $f(x)$ 當 $x \to -\infty$ 時的極限,記為 $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=A$.

自變量趨近於無窮的極限存在的充要條件:
$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=A \iff \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to - \infty}f(x)=A$

性質

定理一(函數極限的唯一性): 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在,那么這個極限唯一
定理二(函數極限的局部有界性): 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$ ,那么存在常數 $M>0$ 和 $\delta>0$ ,使得當 $0<\mid x-x_0 \mid < \delta$ 時,有 $\mid f(x) \mid \leqslant M$.
定理三(函數極限的局部保號性): 如果 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$ ,且 $A>0$(或 $A<0$ ) ,那么存在常數 $\delta>0$ ,使得當 $0< \mid x-x_0 \mid < \delta$ 時,有 $f(x)>0$ (或 $f(x)<0$)

無窮小與無窮大

無窮小

定義

若函數 $f(x)$ 當 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$) 時的極限為零,則稱 $f(x)$ 為 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$)時的無窮小量.

極限值與無窮小定理

在自變量的統一變化過程 $x \to x_0$ (或 $x \to \infty$)中,函數 $f(x)$ 具有極限 $A$ 的充分必要條件是 $f(x)=A+\alpha$,其中 $\alpha$ 是無窮小.

\[\lim f(x)=A \iff f(x)=A+\alpha \]

無窮小的比較

設 $\alpha$ 與 $\beta$ 是在同一個自變量變化過程中的無窮小,且 $\alpha \neq 0$.

\[\begin{aligned} &若 \lim \frac{\beta}{\alpha}=0,那么就說\beta是\alpha的高階無窮小,記作 \beta=\omicron(\alpha)\\ &若 \lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty,那么就說\beta是\alpha的低階無窮小,記作 \alpha=\omicron(\beta)\\ &若 \lim \frac{\beta}{\alpha}=c\neq0,那么就說\beta是\alpha的同階無窮小,記作 \beta=\Omicron(\alpha)\\ &若 \lim \frac{\beta}{\alpha^k}=c\neq0,那么就說\beta是\alpha的k階無窮小\\ &若 \lim \frac{\beta}{\alpha}=1,那么就說\beta與\alpha是等價無窮小,記作\alpha \sim \beta\\ \end{aligned} \]

常用等價無窮小

\[\begin{aligned} &x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1,\\ &(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x,1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2,a^x-1\sim x\ln a,\\ &x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3,\tan x -x \sim \frac{1}{3}x^3,x-\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2,\\ &\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3,x-\arctan x \sim \frac{1}{3}x^3 \end{aligned} \]

無窮小的運算性質

有限個無窮小的和仍是無窮小
有限個無窮小的積仍是無窮小
無窮小量與有界量的積仍是無窮小

無窮大

定義

設函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心領域內有定義(或 $\mid x \mid $ 大於某一正數時有定義).如果對於任意給定的正數 $M$ (不論它多么大),中存在正數 $\delta$ (或正數 $X$),只要 $x$ 適合不等式 $0<\mid x-x_0 \mid < \delta$ (或 $\mid x \mid>X$),對應的函數值 $f(x)$ 總滿足不等式:

\[\mid f(x)\mid>M \]

那么稱函數 $f(x)$ 是當 $x\to x_0$(或 $x \to \infty$ )時的無窮大.
雖然按照函數的定義來說, 當$x\to x_0$(或 $x \to \infty$ )時的無窮大的函數 $f(x)$ 極限是不存在的.但是為了便於敘述函數的這一性態,我們也說"函數的極限是無窮大",並記作:

\[\lim\limits_{x \to x_0}f(x)= \infty(或 \lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty) \]

無窮大的運算性質

有限個無窮大量的積仍為無窮大量
無窮大量與有界變量之和仍為無窮大量
有限個正無窮大量之和一定是無窮大

無窮大與無窮小的關系

在自變量同一變化過程中,如果 $f(x)$ 為無窮大,那么 $\frac{1}{f(x)}$ 為無窮小;反之,如果 $f(x)$ 為無窮小,且 $f(x)\neq0$,那么 $\frac{1}{f(x)}$ 為無窮大.

無窮大和函數無界的辨析

無窮大是函數在自變量某一個變化過程中的變化趨勢,而函數無界是函數整體的性質,二者不可混同.
另一方面,我們可以看出:若一個函數在自變量的某一變化過程中極限為無窮大,那么這個函數必定為無界函數,但如果一個函數是無界函數,並不可以說明該函數在自變量的某一變化過程中變化趨勢為無窮大.即,函數在某一極限過程為無窮大是函數為無界函數的充分非必要條件.

常用無窮大量的比較

當 $x \to +\infty$ 時(函數極限)

\[\ln^{\alpha}x <x^\beta<a^x,其中a>0,\beta>0,a>1 \]

當 $n\to \infty$ 時(數列極限)

\[\ln^\alpha n< n^\beta<a^n<n!<n^n,其中\alpha>0,\beta>0,a>1 \]

極限運算法則

無窮小與無窮大相關運算法則

無窮小的運算性質
 無窮大的運算性質

極限的有理運算法則

如果 $\lim f(x)=A$, $\lim g(x)=B$,那么:

$\lim[f(x)±g(x)]=\lim f(x)± \lim g(x)=A±B$;
$\lim[f(x) \cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A \cdot B$;
若又有 $B \neq 0$ ,則

\[\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B} \]

注意:上面所有的運算法則成立的前提是:$\lim f(x)$與 $\lim g(x)$都存在!

推論:

如果 $\lim f(x)$ 存在,而 $c$ 為常數,那么:

\[\lim[c\cdot f(x)]=c\cdot \lim f(x) \]

如果 $\lim f(x)$ 存在,而 $n$ 是正整數,那么:

\[\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n \]

注意:數列極限同樣滿足

常用的結論

$\lim f(x)=A \neq 0 \implies \lim f(x)g(x)=A\lim g(x)$;

即:極限非零的因子的極限可先求出來.

$\lim \frac{f(x)}{g(x)}存在,\lim g(x)=0 \implies \lim f(x)=0$
$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0,\lim f(x)=0 \implies \lim g(x)=0$

復合函數求極限法則

設函數 $y=f[g(x)]$ 是由函數 $u=g(x)$ 與函數 $y=f(u)$ 復合而成,$f[g(x)]$ 在點 $x_0$ 的某去心領域內有定義,若 $\lim\limits_{x \to x_0}g(x)=u_0$ , $\lim\limits_{u \to u_0}f(u)=A$,且存在 $\delta_0>0$,當 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta_0)$ 時,有 $g(x)\neq u_0$ ,則:

\[\lim\limits_{x \to x_0}f[g(x)]=\lim\limits_{u \to u_0} f(u)=A \]

為什么一定要有:存在 $\delta_0>0$,當 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta_0)$ 時,有 $g(x)\neq u_0$.這一條件?
這是因為函數在某一點的極限實際上與該點的值無關,假設極限$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A$,如果 $f(x)$ 在$x_0$點沒有定義,或是在該$x_0$處間斷,並不會影響函數最終在 $x_0$ 處的極限為 $A$.
回到本定理,如果不加上這個條件的話,可能出現在所有可能的領域中都會出現 $g(x)=u_0$ 的情況 ,這會導致在某些情況下 $f[g(x)]$ 在 $x_0$ 點的領域中取到令外層函數 $f(u)$ 沒有定義或者間斷的點--- $f(u_0)$ , 因為條件中的$\lim\limits_{u \to u_0}f(u)=A$並不能說明 $f(u_0)$ 處的情況,進而導致函數 $ f[g(x)]$在領域內違背極限的定義 $\mid f[g(x)]-A\mid< \varepsilon$.

極限存在准則及兩個重要極限

准則零

$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=A \iff \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to - \infty}f(x)=A$
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=A \iff \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=A$

准則一(迫斂准則/夾逼准則)

如果數列 $\{x_n\}$,$\{y_n\}$及$\{z_n\}$滿足下列條件:

存在 $n_0\in \N_+$,當 $n>n_0$ 時,有 $y_n \leq x_n \leq z_n$;
$\lim\limits_{n \to \infty}y_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}z_n=a$.

那么數列$\{x_n\}$的極限存在,且 $\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a$

數列極限同理滿足,不細述.

根據此准則可以推導出重要極限 $\lim\limits_{x \to x_0}\frac{\sin x}{x}=1$.

准則二(單調有界准則)

單調有界數列必有極限.即:單調增(減)有上(下)界的數列必有極限.

注意:

該准則中的單調數列,區別與函數的單調,是廣義上的單調而非嚴格單調,即若數列 $\{x_n\}$滿足:$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq ... \leq x_n \leq x_{n+1} \leq ... $就稱數列 $\{x_n\}$ 是單調增加的.

當一個函數在 $R$ 上單調遞增(減)有界,在正無窮遠處極限存在,且極限值為上(下)確界.

除了第二點說述的情況,該結論無法推廣至其他函數極限,因為在談及函數極限時往往需要指明定義域與極限的過程,僅僅說明"單調有界函數必有極限"是沒有意義的.

使用該准則可以推導出另一個重要極限:$\lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x$的存在,並且我們把該極限的值定義為 $e$,它是一個無理數.

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