Riemann函數：當x為無理數時，R(x)=0。當x=p/q，p∈Z，q∈N*，(p,q)=1，R(x)=1/q。
任意\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)=0\)
證明：反證。若存在\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)≠0\)
則對於任意的ε＞0，當R(x)≥0時，顯然x為有理數，設x=p/q，則q≤[1/ε]
在(0,1)上，這樣的x有有限多個，不妨記為\(x_1,x_2,.....x_N\)
令δ=min{\(|x_1-x_0|,|x_2-x_0|,.....,|x_N-x_0|\)}
當\(0＜|x-x_0|＜δ\)時，有R(x)＜ε，由函數極限的定義，lim_{x→x_0}R(x)=0，矛盾。
則任意\(x_0∈(0,1)，lim_{x→x_0}R(x)=0\)