高數(01)--函數、極限、連續

高數(1)--函數、極限、連續

極限

極限定義

自變量趨於有限值時函數的極限：

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, 當 0 < |x - x_0| < \delta 時， 有 |f(x) - A| < \epsilon \]

自變量趨於無窮大時函數的極限：

\[\lim_{x \to \infty } f(x) = A \iff \forall \epsilon > 0, \exists X> 0, 當 |x|>X時， 有 |f(x) - A| < \epsilon \]

極限性質

函數極限三大性質:

• 唯一性
• 局部有界性
• 局部保號性

無窮大、無窮小

無窮小

如果函數\(f(x)\)當\(x \to x_0\)(或\(x \to \infty\))時的極限為零，那么稱函數\(f(x)\)為當\(x \to x_0\)(或\(x \to \infty\))時的無窮小

無窮小與函數極限的關系：(去極限符號)

在自變量的同一變化過程\(x \to x_0(或x \to \infty)\)中，函數\(f(x)\)具有極限A的充分必要條件是\(f(x) = A + \alpha\) , 其中\(\alpha\)是無窮小

\[\lim_{x \to x_0}f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha , \alpha為x \to x_0的無窮小 \]

無窮大

設函數\(f(x)\)在\(x_0\)的某一去心鄰域內有定義(或\(|x|\)大於某一正數時有定義). 如果對於任意給定的正數\(M\)(不論它多么大)， 總存在正數\(\delta\)(或正數\(X\))，只要\(x\)適合不等式\(0<|x - x_0| < \delta\)(或\(|x| > X\)), 對應的函數值\(f(x)\)總滿足不等式

​ \(|f(x)| > M\)

則稱函數\(f(x)\)為當\(x \to x_0(或 x \to \infty)\)時的無窮大

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty (或 \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty) \]

無窮大與無窮小的關系：

在自變量的同一變化過程中，如果\(f(x)\)為無窮大，則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮小；反之，如果\(f(x)\)為無窮小，且\(f(x)\neq 0\), 則\(\frac{1}{f(x)}\)為無窮大

極限運算法則

定理1

有限個無窮小的和也是無窮小

定理2

有界函數與無窮小的乘積是無窮小

定理3

如果\(\lim f(x)=A, \lim g(x) = B\), 那么

(1) \(\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim f(x) \pm \lim g(x) = A \pm B\)

(2) \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = \lim f(x) \cdot \lim g(x) = A \cdot B\)

(3) 若又有\(B\neq 0\), 則

​ $$\lim \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} = \frac{A}{B}$$

定理4